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转化思想在数学解题中的应用

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转化思想在数学解题中的应用

论文关键词：转化思想,数学,解题

【例1】证明：在任给的8个不同的实数中，至少存在两个实数和使得不等式：

成立。（1994年四川省高中数学联赛试题）

小结：本题是典型的将代数中的不等式证明问题转化为三角函数问题，将复杂的代数式利用三角函数中的特殊关系化简成简单的一个函数，所以在平时的学习中要深刻理解留心观察所学的各种“工具”的概念和性质。

【例2】

分析：首先化简不等式使其尽可能的简单，

小结:本题是典型数形结合中将代数问题几何化,代数中的问题往往转化成几何图形解决比较简单。

【例3】如图对角线将梯形分成四部分比较

面积大小。

(2004年江苏省淮安市中学数学联考)

分析：

小结：本题是将几乎无法入手的几何问题转化为代数计算，而利用几何的变换、平移、割补等解决比较困难。所以在转化思想运用的时候要明确转化的目的—使问题简单，而不能机械的模仿肆意的转化，具体问题具体对待。

【例4】

若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。

分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，，，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。

解：设，则

由(1)、(2)可得

(3)

(4)

此时，(5)

由(3)得

，由(4)得

由(5)得

【例5】

甲乙两个老朋友相遇寒暄一番，甲说“我有三个孩子，他们年龄的乘积是36，年龄之和是相遇地点时旁边一座楼窗子数量，问孩子的年龄各是多少？”乙说“还不能确定。”甲补充说：“岁数最大的是黑头发。”乙立刻说出答案。问甲的孩子年龄各是多大？

（苏州大学数学科学学院周士藩教授讲座）

和

1

1

36

38

1

2

18

21

1

3

12

16

1

4

9

14

1

6

6

13

2

2

9

13

2

3

6

11

3

3

4

10

分析：乘积是36的数有：

而当乙说“还不能确定。数学论文”时

我们可以得知答案是1.6.6和

2.2.9中的一个。因为相遇地点

时旁边一座楼窗子数量是一定

的，即孩子们年龄之和是一定

的。而乙说不确定，我们可以推断和是多个。又因为甲说：“岁数最大的是黑头发。”只有229有最大的。

小结：本题是巧妙的将未知问题转化为已知问题，透过题目表象推出题目中隐含信息。

转化思想可以说贯穿数学的始末，在数学学习中几乎处处可见。通常有：数形结合、未知问题已知化、动静转化、图形形状、位置的转化等。在平时学习中应注重题型、归纳多留心观察思考！

思考与练习：

1、证明：在任给的7个不同的实数中，至少存在两个实数和使得不等式：成立。

2、如图，中，BC＝4，，

P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。

连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？

3、甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为18千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/刁、时，同时，甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，??，直到甲、乙相遇，求小狗在这段时间所走的总路。

参考文献

朱汉林主编数学竞赛讲座.苏州大学出版社.2000

江苏省淮安市中学测试题汇编.2004

新人教.数学转化思想.2008

周士藩.数学讲座试题.2007

魏华斌.数学中常用的5种转化思想.2008

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-全文完-