单调性与凸凹性课件.pptVIP

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点

一、单调性的判别法定理

证应用拉氏定理,得

例1解

例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．

例3解单调区间为

单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:

例4解单调区间为

注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4证

例5

例6

二、曲线凹凸的判定问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方

定义

曲线凹凸的判定定理1

例7解注意到,

三、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证

方法1:注意:

例8解拐点拐点凹的凸的凹的

例9解

例10

例11试确定法线通过原点.中的值，使曲线在拐点处的

四、小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.注意：定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

2.曲线凹凸与拐点的判别曲线的弯曲方向——凹凸性;+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点应用：利用函数的凹凸性证明不等式.

思考题解答不能断定.例但

当当时，时，注意可以任意大，故在域内，都不单调递增．点的任何邻

解答例

思考与练习则1.设在上或的大小顺序是()B单调增加,及提示:利用

2.曲线的凹区间是;及凸区间是;拐点为提示:.

证明:当时，有3.证明:令则,是凸函数(自证)即

练习题1

练习题1答案

练习题2

练习题答案

备用题1.求证曲线有位于一直线的三个拐点.证明：

令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.

证明:当时，有2.证明:令则,是凸函数(自证)即