湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 空间向量与立体几何 2.4.3 向量与夹角.ppt

第2章2.4.3向量与夹角

课程标准1.理解两异面直线所成的角与它们方向向量之间的关系,会用向量方法求异面直线所成的角.2.理解直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角.3.理解二面角的大小与两个平面法向量之间的关系,会用向量方法求两个平面所成的角.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1直线与直线的夹角设v1,v2分别是两异面直线a,b的方向向量,且两异面直线a,b所成的角为θ,设v1与v2所成的角为φ,则θ=或θ=,所以cosθ=|cosφ|=.?名师点睛用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用一组基表示其他向量,通过向量运算求解.φπ-φ

自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两异面直线所成的角也就是两异面直线的方向向量的夹角.()(2)若l1与l2是两异面直线,v1,v2为直线l1,l2的方向向量,则v1与v2不平行.()2.已知两异面直线a,b的方向向量分别是a=(1,0,-1),b=(,0,0),则两异面直线a,b所成的角为.?×√

知识点2直线与平面所成的角当直线l与平面α相交但不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,则θ=?(0φ)或θ=?(φπ),因此sinθ=|cosφ|=|cosv,n|=.

自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线l的方向向量与平面α的法向量n的夹角是直线和平面所成的角.()(2)直线l与平面α所成的角的取值范围是(0,).()××

2.若直线l与平面α所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,当θ=0与θ=时,直线l与平面α有什么关系,此时φ为多少?

知识点3两个平面所成的角1.二面角:从一条直线出发的所组成的图形称为二面角,二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的范围为.?2.两个平面所成的角:两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两平面所成的角,其范围是[0,],当两个平面平行时,它们所成的角为.?3.设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记n1,n2=φ,则θ=?(0≤φ≤)或θ=?(≤φ≤π),cosθ=|cosφ|=|cosn1,n2|.两个半平面[0,π]0°φπ-φ

自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的大小就是两个半平面法向量的夹角.()(2)二面角即为两个平面所成的角.()2.已知二面角α-l-β,其中平面α的一个法向量m=(1,0,-1),平面β的一个法向量n=(0,-1,1),则二面角α-l-β的大小为.?××

重难探究·能力素养速提升

探究点一利用向量方法求两异面直线所成的角【例1】[北师大版教材习题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-ABCD,点E是AD的中点,求直线AB与直线CE所成角的余弦值.

规律方法利用向量法求异面直线所成的角的方法(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的取值范围得到两异面直线所成角.易错警示求异面直线所成的角的易错点异面直线所成角的范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其补角.

变式训练1已知三棱锥S-ABC中,底面三角形ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=,D为SA的中点,那么直线BD与直线SC所成角的大小为.?

探究点二利用向量求直线与平面所成的角【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,求直线B1F与平面GEF所成角的正弦值.

解设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则

规律方法利用向量求直线与平面所成的角θ的方法

变式训练2在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,