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（中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用））专题30圆篇（解析版）

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（中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用））专题30圆篇（解析版）

专题30圆

考点一：垂径定理

知识回顾

知识回顾

圆的定义：

定义①：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆,记作⊙O”,读作圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

与圆有关的概念：

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦,经过圆心的弦叫直径,圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论：

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

微专题

微专题

1．(2022?青海)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB＝4m,CD＝6m,则⊙O的半径长为m．

【分析】连接OA,如图,设⊙O的半径为rm,根据垂径定理的推论得到CD⊥AB,在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+(6﹣r)2＝r2,然后解方程即可．

【解答】解：连接OA,如图,设⊙O的半径为rm,

∵C是⊙O中弦AB的中点,CD过圆心,

∴CD⊥AB,AC＝BC＝AB＝2m,

在Rt△AOC中,∵OA＝rm,OC＝(6﹣r)m,

∴22+(6﹣r)2＝r2,

解得r＝,

即⊙O的半径长为m．

故答案为：．

2．(2022?牡丹江)⊙O的直径CD＝10,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM：OC＝3：5,则AC的长为．

【分析】连接OA,由AB⊥CD,设OC＝5x,OM＝3x,则DM＝2x,根据CD＝10可得OC＝5,OM＝3,根据垂径定理得到AM＝4,然后分类讨论：当如图1时,CM＝8;当如图2时,CM＝2,再利用勾股定理分别计算即可．

【解答】解：连接OA,

∵OM：OC＝3：5,

设OC＝5x,OM＝3x,则DM＝2x,

∵CD＝10,

∴OM＝3,OA＝OC＝5,

∵AB⊥CD,

∴AM＝BM＝AB,

在Rt△OAM中,OA＝5,

AM＝,

当如图1时,CM＝OC+OM＝5+3＝8,

在Rt△ACM中,AC＝;

当如图2时,CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2,

在Rt△ACM中,AC＝．

综上所述,AC的长为4或2．

故答案为：4或2．

3．(2022?长沙)如图,A、B、C是⊙O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA＝7,则BC的长为．

【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD(SAS),则BC＝OA＝7．

【解答】解：∵OA＝OC＝7,且D为OC的中点,

∴OD＝CD,

∵OC⊥AB,

∴∠ODA＝∠CDB＝90°,AD＝BD,

在△AOD和△BCD中,

∴△AOD≌△BCD(SAS),

∴BC＝OA＝7．

故答案为：7．

4．(2022?自贡)一块圆形玻璃镜面碎成了几块,其中一块如图所示,测得弦AB长20厘米,弓形高CD为2厘米,则镜面半径为厘米．

【分析】根据题意,弦AB长20厘米,弓形高CD为2厘米,根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．

【解答】解：如图,点O是圆形玻璃镜面的圆心,连接OC,则点C,点D,点O三点共线,

由题意可得：OC⊥AB,AC＝AB＝10(厘米),

设镜面半径为x厘米,

由题意可得：x2＝102+(x﹣2)2,

∴x＝26,

∴镜面半径为26厘米,

故答案为：26．

5．(2022?黑龙江)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为．

【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长．

【解答】解：连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD＝OC＝1,

∵OC⊥AB,

∴D为AB的中点,

则AB＝2AD＝2＝2＝2．

故答案为：2．

6．(2022?上海)