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专题1.1等腰三角形【八大题型】
【北师大版】
【题型1利用等腰三角形的性质求角度】1
【题型2利用等腰三角形的性质求线段长度】5
【题型3等腰三角形中的多结论问题】8
【题型4利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】15
【题型5等腰三角形的证明】18
【题型6等腰三角形中的新定义问题】23
【题型7等腰三角形中的规律问题】27
【题型8等腰三角形中的动点问题】29
【知识点1等腰三角形】
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上
的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
(3)等腰三角形的判
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).
【题型1利用等腰三角形的性质求角度】
【例1】(2022•南关区校级开学)已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°,那么这个等腰三
角形的顶角等于()
A.15°或75°B.30°C.150°D.150°或30°
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形,当为等腰直角三角形时
不可能出现题中所说情况,所以舍去不计,我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.
【解答】解:①当为锐角三角形时可以画图,
高与左边腰成60°夹角,由三角形内角和为180°可得,顶角为180°﹣90°﹣60°=30°,
②当为钝角三角形时可画图,
此时垂足落到三角形外面,因为三角形内角和为180°,
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°,
∴三角形的顶角为180°﹣30°=150°.
故选:D.
【变式1-1】(2022秋•南昌期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABM=∠CBN,MN=BN,则∠MBC
的度数为()
A.45°B.50°C.55°D.60°
【分析】设∠ABM=∠CBN=x,∠MBN=y,可得∠ABC=2x+y,根据MN=BN,有∠BMN=∠MBN=
y,故∠A=∠BMN﹣∠ABM=y﹣x,又AB=AC,得∠C=∠ABC=2x+y,根据∠A+∠ABC+∠C=180
°,得(y﹣x)+(2x+y)+(2x+y)=180°,即得x+y=60°,故∠MBC=60°.
【解答】解:设∠ABM=∠CBN=x,∠MBN=y,
∴∠ABC=2x+y,
∵MN=BN,
∴∠BMN=∠MBN=y,
∴∠A=∠BMN﹣∠ABM=y﹣x,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=2x+y,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴(y﹣x)+(2x+y)+(2x+y)=180°,
∴3x+3y=180°,
∴x+y=60°,
∴∠CBN+∠MBN=60°,
即∠MBC=60°,
故选:D.
【变式1-2】(2022春•柯桥区期末)在△ABC中,已知D为直线BC上一点,若∠ABC=α,∠BAD=β,
且AB=AC=CD,则β与α之间不可能存在的关系式是()
3333
A.β=90°−αB.β=180°−αC.β=−90°D.β=120°−α
2222
【分析】分点D在线段BC上,在BC延长线上,在CB延长线上讨论,根据外角
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