2024-2025年新高考数学专题8.5空间角与距离、空间向量及其应用-每日习题.pdf

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

基础篇

考点一用向量法证明空间中的平行和垂直

1.(2021广东佛山月考,3)直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为

(1,1,2),则m=()

2

A.-4B.-6C.-8D.8

答案C

2.(2022福州一中质检,4)以下四组向量在同一平面的是()

A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)

B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)

C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)

D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)

答案B

3.

(多选)(2022广东中山一中阶段测试,10)如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互

相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么下列结论正确的是()

A.AD⊥MNB.MN∥平面CDE

C.MN∥CED.MN,CE异面

答案ABC

4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-ABC中,AB=AA=1,点P满足

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=+,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则()

1

A.当λ=1时,△ABP的周长为定值

1

B.当μ=1时,三棱锥P-ABC的体积为定值

1

C.当λ=1时,有且仅有一个点P,使得AP⊥BP

1

2

D.当μ=1时,有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP

11

2

答案BD

5.(2023届南京、镇江学情调查,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,

侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.

(1)求证:AM∥平面SCD;

(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解析因为SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD,所以以点A为坐标原点,以向量,,

的方向分别为x

轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以=(0,1,1),=(1,0,-

⃗⃗⃗⃗⃗

2),=(-1,-2,0).

(1)证明:设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),

⃗⃗⃗⃗⃗

·=0,−2=0,

则{⃗⃗⃗⃗⃗即{−−2=0,

·=0,

令z=1,则x=2,