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第十一章动量矩定理

CONTNET01动量矩03刚体对轴的转动惯量02动量矩定理04刚体绕定轴的转动微分方程

01动量矩

11.1.1质点的动量矩动量矩也是度量机械运动强弱的一个物理量。设质量为m的质点Q，某瞬时的动量为mv，质点相对O点的位置用矢径r表示，如图所示。质点Q的动量对于O点之矩，定义为质点对于O点的动量矩，即质点对于O点的动量矩是矢量，它垂直于矢径r和mv所形成的平面，指向由右手法则确定，如图所示。

11.1.1质点的动量矩质点动量mv在Oxy平面内的投影对于O点之矩，定义为质点动量对于z轴之矩，简称对于z轴的动量矩。对轴的动量矩是一个代数量。按力矩关系定理，动量矩也有类似关系：质点对O点的动量矩矢在通过O点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩，即动量矩的国际单位是kg?m2/s。

11.1.2质点系的动量矩质点系对O点的动量矩矢在通过O点的任意轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。

11.1.2质点系的动量矩绕定轴转动刚体对于其转轴的动量矩，等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。

02动量矩定理

11.2.1质点的动量矩定理质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。

11.2.1质点的动量矩定理

11.2.2质点系的动量矩定理质点系动量矩定理，即质点系对于某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点系的外力对同一点之矩的矢量和。

11.2.2质点系的动量矩定理

11.2.3动量矩守恒定律

11.2.3动量矩守恒定律例11-1如图所示，不可伸长的绳OM长为l，其一端固定在O点，另一端系一重量为P的小球M，绳和球可在铅直面内摆动，不计绳的质量，小球可视为质点，这种装置称为单摆。设单摆的初始摆角为α，初速度为零。求该摆的运动规律。

11.2.3动量矩守恒定律

11.2.3动量矩守恒定律例11-2如图所示，力偶矩M作用在半径为R、转动惯量为J的鼓轮上，鼓轮通过绳子拉动质量为m的小车沿斜面向上运动，已知斜面倾角为θ，不计绳重及各处摩擦。求小车的加速度。

03刚体对轴的转动惯量

11.3.1转动惯量

11.3.1转动惯量例11-3如图所示，均质杆的质量为m，杆长为l，杆的线密度（单位长度的质量）为ρl。求此杆对z轴的转动惯量。

11.3.2回转半径

11.3.2回转半径物体形状：细直杆物体简图：转动惯量：回转半径：

11.3.2回转半径物体形状：细直杆物体简图：转动惯量：回转半径：物体形状：薄壁圆筒物体简图：转动惯量：回转半径：R

11.3.2回转半径物体形状：实心圆柱物体简图：转动惯量：回转半径：物体形状：空心圆柱物体简图：转动惯量：回转半径：

11.3.2回转半径物体形状：薄壁空心球物体简图：转动惯量：回转半径：物体形状：实心球物体简图：转动惯量：回转半径：

11.3.3平行移轴定理定理刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即对平行于某个方向的所有轴来说，刚体对质心轴的转动惯量为最小。

11.3.3平行移轴定理例11-4如图所示为一个钟摆，均质杆和均质圆盘的质量分别为m1，m2，杆长为l，圆盘直径为d。求钟摆对通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。

04刚体绕定轴的转动微分方程

11.4刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程，即定轴转动刚体的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的外力对转轴之矩的代数和。

11.4刚体绕定轴的转动微分方程

11.4刚体绕定轴的转动微分方程例11-5如图所示，滑轮半径