2024-2025年新高考数学专题5.4解三角形-10年高考真题.pdf

5.4解三角形

考点一正弦定理和余弦定理

1.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC=()

A.1B.√2C.√5D.3

答案D解题指导:思路一(利用余弦定理):已知角B,边c,b,利用余弦定理,得到关于a的一元二次方程,

求解即可;思路二(利用正弦定理):已知角B,边b,c,借助正弦定理求出角C的正弦值,进而利用两角和的正

弦公式及诱导公式求出角A,再借助正弦定理求出a.

解析解法一:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC中,由题意知b=√19,c=2,由余弦定理

22222

得b=c+a-2cacosB,即19=4+a-2·2a·cos120°,整理得a+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍),所以BC=3.故选

D.

√3

解法二:在△ABC中,由正弦定理得=,即√19=2,所以sinC=2×2=√3,又0°C60°,所以cos

sinsinsin120°sin√1919

C=√1−sin2=4,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√3×4+(−1)×√3=3√3,所以

√192√192192√19

3√3

√19·sin√19×2√19

BC===3.

sin√3

2

2.(2018课标Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC

2+2−2

的面积为,则C=()

4

ππ

A.B.

23

ππ

C.D.

46

2222+2−2

答案C根据余弦定理得a+b-c=2ab·cosC,因为S△ABC=,所以S△

4

2cos1π

ABC=,又S△ABC=absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=.故选C.

424

3.(2016课标Ⅰ文,4,5分)