第三章　第二节　第2课时　函数的奇偶性与周期性.pdf

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第2课时函数的奇偶性与周期性

【课标解读】

【课程标准】

1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

【核心素养】

数学抽象、逻辑推理、直观想象.

【命题说明】

高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的奇偶性、周期性和

考向

象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是

考法

高考热点,常以选择题的形式出现.

预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确

预测

定与应用;题型既有选择题、填空题,又有解答题.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.函数的奇偶性

奇偶

定义图象

性

偶函设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-关于y轴对

数x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数称

奇函设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-关于原点对

数x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数称

微点拨奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称

是函数具有奇偶性的必要不充分条件.

2.函数的周期性

(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x

∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做

这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个

最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).

微点拨存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,

函数值就会重复出现一次.

常用结论

1.函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).

1

(2)若f(x+a)=,则T=2a(a0).

()

1

(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a0).

()

2.对称性的四个常用结论

(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.

+

(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=2对称;特别地,

当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当

b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.

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