第三章　第一节　函数的概念及其表示.docx

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第一节函数的概念及其表示

【课标解读】

【课程标准】

1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用.

3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

【核心素养】

数学抽象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.

预测

预计2025年高考在函数的定义域、值域、解析式仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,对分段函数的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.函数的概念

概念

一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

三

要

素

对应

关系

y=f(x),x∈A

定义域

x的取值范围A

值域

与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}

2.同一个函数

(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系完全一致.

(2)结论:这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

(1)解析法:就是把两个变量之间的对应关系用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式.

(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

(3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

微点拨①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两函数的值域与对应关系相同,但两函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.

4.分段函数

若函数在其定义域的子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

微点拨分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.

常用结论

1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.

2.特殊函数的定义域:

(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.

(5)正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.(×)

提示:函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一个函数.

(2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(×)

提示:值域是集合B的子集.

(3)若A=R,B={x|x0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.(×)

提示:集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(×)

提示:只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.

2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,则a

【解析】由a+3+1a+2=133,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a

均符合题意,所以a=1或-53

答案:1或-5

【加练备选】(2023·上海高考)已知函数f(x)=2x,x01,x

【解析】当x0时,f(x)=2x1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为1,

答案:1

3.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=.?

【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=(2x)

设t=2x,则f(t)=t2-t,t0,所以f(x)=x2-x,x0.

答案:x2-x(x0)

【核心考点·分类突破】

考点一函数的概念

1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图象中,能表示集合M到集合N的函数关系的是()

A.①②③④ B.①②③

C.②③ D.②

【解析】选C.对于①,定义域为{x|0≤x≤1},不符合题意;对于④,集合M中有的元素在集合N中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意.

2.(多选题)下列各组函数是同一个函数的为()

A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1

B.f(x)=x-1,g(x)=x

C.f(x)=x2,g(x)=

D.f(x)=-x3,g(x)=

【解析】选