第十一章　第七节　正态分布.docx

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第七节正态分布

【课标解读】

【课程标准】

1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.

2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率.

3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用.

【核心素养】

数据分析、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.

预测

预计2025年高考正态分布可能还会出题,命题较灵活多变.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.正态分布的定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ

则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).

2.正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

(2)曲线在x=μ处达到峰值1σ

(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.

3.3σ原则

(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;

(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;

(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

4.正态分布的均值与方差

若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.

微点拨

(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;

(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

3

4

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方.(√)

(2)正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方.(×)

(3)正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化.(×)

(4)正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.(√)

2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=()

附:

概率

P(μ-σ≤

X≤μ+σ)

P(μ-2σ≤

X≤μ+2σ)

P(μ-3σ≤

X≤μ+3σ)

近似值

0.6827

0.9545

0.9973

A.0.8186 B.0.4772 C.0.84 D.0.9759

【解析】选A.由题意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,

所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.

3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ2)=p,则P(-2≤ξ≤0)=()

A.12+p B.1-p C.12-p D.

【解析】选C.由对称性知P(ξ-2)=p,

所以P(-2≤ξ≤0)=1-2p2

4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2X≤2.5)=0.36,则P(X2.5)=__________.?

【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X2)=0.5,

所以P(X2.5)=P(X2)-P(2X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

答案:0.14

【核心考点·分类突破】

考点一正态分布的性质

[例1](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(x-10

A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10

【解析】选B.因为f(x)=18π

所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.

(2)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ2

A.甲类水果的平均质量为0.4kg

B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右

C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大

D.σ2=1.99

【解析】选ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,则σ2≠1

(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是()

A.该正态曲线关于直线x=1对称

B.