第四章　第四节　第3课时　导数的不等式问题.docx

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第3课时导数的不等式问题

【命题分析】导数中的不等式证明经常被考查,常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合,题目难度较大,解题方法多种多样,如构造函数法、放缩法等,针对不同的题目,采用不同的解题方法,可以达到事半功倍的效果.

【核心考点·分类突破】

考点一作差法构造函数,证明不等式

[例1]设f(x)=2xlnx+1.

(1)求f(x)的最小值;

【解析】(1)f(x)=2(lnx+1),所以当x∈(0,1e)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x∈(1e,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=1e时,f(x)取得最小值f(1

(2)证明:f(x)≤x2-x+1x+2ln

【解析】(2)x2-x+1x+2lnx-f(x)=x(x-1)-x-1x-2(x-1)lnx=(x-1)(x-

令g(x)=x-1x-2lnx,则g(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当0x1时,g(x)0,当x1时,g

即f(x)≤x2-x+1x+2ln

解题技法

作差法构造函数,证明不等式的策略

(1)待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数;

(2)有时对复杂的式子要进行变形,借助所构造函数的单调性和最值求解,利用导数研究其单调性和最值.

对点训练

已知函数f(x)=x+xlnx,求证:f(x)3(x-1).

【证明】令g(x)=f(x)-3(x-1),

即g(x)=xlnx-2x+3(x0).

g(x)=lnx-1,由g(x)=0,得x=e.

由g(x)0,得xe;由g(x)0,得0xe.

所以g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,

所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(e)=3-e0.

于是在(0,+∞)上,都有g(x)≥g(e)0,

所以f(x)3(x-1).

考点二分拆函数法证明不等式

[例2]已知函数f(x)=elnx-ax(x0).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

【解析】(1)f(x)=ex-a(x

①若a≤0,则f(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

②若a0,则当0xea时,f(x

当xea时,f(x)0,所以f(x)在(0,ea)上单调递增,在(e

综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a0时,f(x)在(0,ea)上单调递增,在(ea

(2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0.

【解析】(2)方法一:因为x0,所以只需证f(x)≤ex

当a=e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

所以f(x)max=f(1)=-e.

记g(x)=exx-2e(

则g(x)=(x

所以当0x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0,故g(x)在(0,1)上单调递减,

在(1,+∞)上单调递增,

所以g(x)min=g(1)=-e.

综上,当x0时,f(x)≤g(x),即f(x)≤exx-2e,即xf(x)-ex+2ex

方法二:由题意知,即证exlnx-ex2-ex+2ex≤0,

从而等价于lnx-x+2≤ex

设函数G(x)=lnx-x+2,

则G(x)=1x-1

所以当x∈(0,1)时,G(x)0,

当x∈(1,+∞)时,G(x)0,

故G(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

从而G(x)在(0,+∞)上的最大值为g(1)=1.

设函数h(x)=exex,则h(x

所以当x∈(0,1)时,h(x)0,

当x∈(1,+∞)时,h(x)0,

故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

从而h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(1)=1.

综上,当x0时,g(x)≤h(x),即xf(x)-ex+2ex≤0.

解题技法

1.当直接求导后导数式比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量.在证明过程中,等价转化是关键,此处g(x)min≥f(x)max恒成立,从而f(x)≤g(x)恒成立.

2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点,一般地,ex与lnx要分离,常构造xn与lnx,xn与ex的积、商形式.

对点训练

证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx1ex-2

【证明】问题等价于证明xlnxxex-2e(x∈(0,+∞)).设f(x)=xlnx,f(x)=1+lnx,易知x=1e为

则f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-1e,当且仅当x=1e

设m(x)=xex-2e(