第五章　第三节　第1课时　两角和与差的三角函数.docx

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第三节三角恒等变换

第1课时两角和与差的三角函数

【课标解读】

【课程标准】

1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.

【核心素养】

数学抽象、数学运算.

【命题说明】

考向

考法

高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.

预测

高考可能会与三角恒等变换结合考查.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;?

(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;?

(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;?

(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;?

(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα

(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα

2.辅助角公式

asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba

常用结论

两角和与差的公式的常用变形:

(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ.

(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ.

(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).

tanαtanβ=1-tanα+tanβtan

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ.()

(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.()

(3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.()

(4)公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关

提示:当α=β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,所以(1)正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,(2)正确,(3)错误;由辅助角公式可知,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a

答案:(1)√(2)√(3)×(4)×

2.(必修第一册P219例4改条件)sin20°cos10°-cos160°sin10°等于()

A.-32 B.32 C.-12

【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12

3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=

22cos(α+π4)sinβ,则(

A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1

C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1

【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ

所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin

即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin

所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2cos(α+π4)

所以sin(α+π4)cosβ-sinβcos(α+π4

所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈

所以α-β=kπ-π4

所以tan(α-β)=-1.

方法二:由题意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,

即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,

所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,

故tan(α-β)=-1.

4.(记错公式形式导致错误)若将sinx-3cosx写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φπ,则φ=.?

【解析】因为sinx-3cosx=2(12sinx-32cosx

所以cosφ=12,sinφ=3

因为0≤φπ,所以φ=π3

答案:π

【核心考点·分类突破】

考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用

[例1](1)若cosα=-45,α是第三象限角,则sin(α+π4)=(

A.7210 B.-7210 C.-2

【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sinα0,

且s