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4.5函数的应用(二)
4.5.1函数的零点与方程的解;课程标准;栏目索引;课前自主预习;[微思考]
函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.;2.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c0,则函数有________个零点.
解析由Δ=b2-4ac0得二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
答案两;如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有______________,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得___________.这个c也就是方程f(x)=0的解.
[微思考]
该定理具备哪些条件?
提示定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)0.;[微体验]
1.思考辨析
(1)在闭区间[a,b]上连续的曲线y=f(x),若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内仅有一个零点.()
(2)在闭区间[a,b]上连续的曲线y=f(x),若f(a)·f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内没有一个零点.()
答案(1)×(2)×;2.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为()
A.(0,1) B.(-1,0)
C.(2,3) D.(1,2)
解析由f(1)=3-4=-10,f(2)=9-4=50得f(x)的零点所在区间为(1,2).
答案D;课堂互动探究;[方法总结]
函数零点的求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.;探究二判断函数零点所在区间问题;(2)若x0是方程ex+x=2的解,则x0属于区间()
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
解析构造函数f(x)=ex+x-2,由f(0)=-1,f(1)=e-10,显然函数f(x)是单调函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)上,所以方程ex+x=2的解在区间(0,1)上.
答案C;[方法总结]
1.确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.
2.判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.
(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判???.
(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.;例3判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
解方法一:∵f(0)=1+0-2=-10,f(2)=4+lg3-20,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)上为增函数,
故f(x)有且只有一个零点.;[变式探究]将本例中函数解析式改为f(x)=x-3+lnx呢?;[方法总结]
判断函数零点个数的方法
方法一:直接求出函数的零点进行判断;
方法二:结合函数图象进行判断;
方法三:借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点,如图所示.;1.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中,要注意三点
(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种
(1)用定理;(2)解方程;(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时化为方程问题求解,这正是函数与方程思想的基础.;
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我是一名长期耕耘在湖南湘西地区基层高中的教师,已带过5届高三毕业班,多年的高中班主任,备课组组长,我想把我们自己制作的教学课件和高考研习心得收获分享给大家,为大家提供高考相关资料和高中各学科的自制教学课件,助力更多的孩子们一起成长!
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