陕西省西安市雁塔区第二中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性测评数学试题.docx

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陕西省西安市雁塔区第二中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性测评数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（????）

A． B． C． D．

2．已知的边BC上有一点D，且满足，则（????）

A． B． C． D．

3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（????）

A．1 B． C． D．

4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

5．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（????）

A．2 B．4 C． D．

二、多选题

7．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（????）

A． B．复数的虚部为

C．若复数为纯虚数，则 D．

8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（????）

A．为钝角三角形 B．为最大的内角

C． D．

9．已知非零向量的夹角为，定义新运算：，若，则下列说法正确的是（????）

A． B．在上投影向量的模为

C． D．

10．在，下列说法正确的是（????）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则必有两解

C．若是锐角三角形，则

D．若，则为锐角三角形

三、填空题

11．已知，且，其中为实数，则，．

12．罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）

??

13．已知向量满足，则.

14．在中，，，则边的长度为．

四、解答题

15．已知向量，满足，，它们的夹角为120?．

(1)求的值；

(2)若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

16．记的内角A，，的对边分别为，，，已知

(1)求证：；

(2)若，求的值.

17．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.

(1)求的余弦值.

(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，且，为锐角．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积的最大值．

19．记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

A

B

D

AD

BC

AC

BC

1．D

【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解.

【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，

所以不一定成立，故A错误；

对于B，，显然不一定成立，故B错误；

对于C，，则，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

2．C

【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式.

【详解】由，得

，

故选：C.

3．C

【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案.

【详解】，则由正弦定理得，

即，

因为B∈0,π，所以，所以.

故选：C

4．A

【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状

【详解】因为，由正弦定理可得：，

整理可得：，

即，所以或者，

所以或，

而当时则，

所以三角形为直角三角形，

所以，

则中，这时，分母为0无意义

所以，

故选：A．

5．B

【分析】，结合题意得，结合即得解.

【详解】，

因为，所以，

又，所以．

故选：B．

6．D

【分析】结合三角形面积公式，正弦定理条件可转化为，再利用余弦定理，正弦定理将转化为角的关系，利用辅助角公式化简求其最值.

【详解】因为的面积为，所以，

所以，所以．

又，，所以，

所以

所以，

所以当时，取得最大值，最大值为，

故选：D

7．AD

【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.

【详解】因为，A正确；

复数的虚