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《高等数学》课程教学大纲

AdvancedMathematics

适用于四年制工科本科各专业

（包含高等数学Ⅰ和高等数学Ⅱ）

学分：11总学时：176理论学时：176实验/实践学时：0/0

一、课程作用与目的

《高等数学》是工科专业学生的一门必修的重要基础课，在理工类本科生的教学中占据重要的地位。本课程的主要内容包括极限、一元函数微积分学、常微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学以及无穷级数等。通过本课程的学习，使学生能够熟练掌握必要的基础理论知识和常用方法，并具备较熟练的运算能力，抽象思维和逻辑推理能力，综合运用所学知识分析和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力，为学生学习后继课程及从事工程技术工作打下必要的数学基础。

二、课程基本要求

学习本课程后，应达到下列基本要求：

1.函数、极限、连续

(1)在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解。

(2)理解复合函数的概念，了解反函数的概念。

(3)会建立简单实际问题中的函数关系式。

(4)理解极限的概念，了解极限的定义(不要求学生做利用、定义求极限的习题)。

(5)掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。

(6)了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。

(7)了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

(8)理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。

(9)了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

(10)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

2.一元函数微分学及其应用

(1)理解导数的概念及其几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题)，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

(2)了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

(3)掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。

(4)理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

(5)了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法(不要求学生求函数的阶导数的一般表达式)。

(6)会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

(7)理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理(对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧)，会用洛必达(LHospital)法则求不定式的极限。

(8)了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求)。

(9)理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

(10)会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。

(11)了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

(12)了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。

3.一元函数积分学及其应用

(1)理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求)，了解定积分的性质和积分中值定理。

(2)理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。

(3)掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元积分法与分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练)。

(4)掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

(5)了解两类反常积分及其收敛性的概念，了解函数的概念。

(6)了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)的思想。

4.常微分方程

(1)了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

(2)掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。

(3)会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。

(4)会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：，，。

(5)理解二阶线性微分方程解的结构，了解高阶线性微分方程解的结构。

(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。