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拓展拔高7数列中的奇偶项问题

【高考考情】数列是高中数学中非常重要的一个知识点,也是高考必考的内容.

与数列有关的题目类型较多,其中,分奇偶项求和问题比较常见.此类问题中奇数

项和偶数项的通项公式一般会有所不同,要解答此类问题,我们需要灵活运用分

类讨论思想和分组求和方法.

【解题思路】解答此类问题的基本思路:(1)结合题意寻找数列中奇数项和偶数

项的规律,分别求出它们的通项公式.在求通项公式时,要注意把数列的项数间隔

开.(2)将数列分成奇数项和偶数项两组,分组进行求和.(3)将所得的结果汇总、化

简,便可求得数列的和.

n

视角一含有(-1)的递推公式

[例1](2023·衡水模拟)(多选题)已知数列{a}满足a=1,a=(-1)n+1(a-n)+n,记

n1n+2n

{a}的前n项和为S,则()

nn

A.a48+a50=100B.a50-a46=4

C.S48=600D.S49=601

【解析】选BCD.因为a=1,a=(-1)n+1(a-n)+n,所以当n为奇数时,a=a=a=1;

1n+2nn+2n1

当n为偶数时,a+a=2n.

nn+2

对于A,由a+a=2n,所以a+a=96,A错误;

nn+24850

对于B,因为a46+a48=92,a48+a50=96,两式相减可得a50-a46=4,B正确;

对于

C,S=a+a+a+…+a+[(a+a)+(a+a)+…+(a+a)]=24×1+2×(2+6+…+46)

481354724684648

(2+46)×12

=24+2×=600,C正确;

2

对于D,S49=S48+a49=600+1=601,D正确.

思维升华

n

含有(-1)类型问题的解法

n

(1)通项公式中含有(-1):

n

①等差数列的通项公式乘(-1),可用并项求和法求数列前n项的和;

n

②等比数列的通项公式中含有(-1),其前n项和可写成分段的形式,考查最值问

31

题,如等比数列{a}的通项公式为a=(-1)n-1·,则其前n项和为S,求T=S-的取

nnnnn