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2023-2024学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试

高一年级数学试卷答案

考试时间：120分钟考试分数：150分

一、单选题

1-4．BACA5-8．BDCC

二、多选题

9．ABD10．BC.11．BD．

三、填空题

12．.13．14．

四、解答题

15．（13分）

【解】（1）因为，根据正弦定理，得，2分

化简得，因为，所以，4分

因为，所以.5分

（2）在中，由余弦定理得，7分

所以，解得．9分

因为为的中线，所以，所以，

11分

因为，所以，解得.13分

?（利用其它方法证明求解的按步骤给分）

16．（15分）

【解】（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，

又点为线段的中点，故，3分

又平面，平面，故平面；4分

（2）由点为线段的中点，，故，

由平面，平面，故，6分

又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，8分

又、平面，，故平面；---10分

（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，12分

故.---15分

（利用其它方法证明求解的按步骤给分）

17．（15分）

【解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，

于是，而，则，所以.4分

(2)，当时，设，在为增函数，在为减函数，所以方程有唯一实根，等价于时有唯一实根，所以的范围.是8分

（3）由（1）知，，则，

，，

当时，，，令，

显然，12分

不等式，

依题意，，不等式恒成立，

显然，

，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的取值范围是.15分

（利用其它方法证明求解的按步骤给分）

18．（17分）

【解】(1)证明：在正三棱柱中，因为点为的中点，则，又平面，平面，则有，

而平面，于是平面，平面，则平面平面，5分

（2）在平面内过点作交于点，平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，8分

如下图所示，显然，因此，

即有，于是，，所以.11分

（3）在平面上，过M点作MN垂直垂足为N，因为点为的中点，所以N为的四等分点，即,13分

过N点作的垂线NP垂足为P，连接MP,

平面平面，平面平面，因此平面，所以有，由二面角定义可得为二面角的平面角，15分

为直角三角形，边上的高为，则有NP=，

所以17分

（利用其它方法证明求解的按步骤给分）

19．（17分）

【详解】(1)由，由余弦定理得BC=2分

取的中点，连接,则,所以，同理可得，则的值为22；4分

（2）不妨设，因，同理可得，

则由可得

，即得：①

又由可得

，即得：②6分

联立①,②，解得：

则，--8分

因，当且仅当时等号成立.即当时，取得最大值.

10分

（3）由，则，由图知,则,

11分

设的外接圆半径为，

则,

即,13分

又，

而,

则，而，

故,15分

不妨设与的夹角为，

则,

因，故，即，

故，得证.17分

（利用其它方法证明