第四章　第四节　第1课时　利用导数研究恒(能)成立问题.pdf

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第四节导数的综合应用

第1课时利用导数研究恒(能)成立问题

【命题分析】恒(能)成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒

成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分

析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现.

【核心考点·分类突破】

考点一不等式恒成立问题

角度1分离参数法求参数范围

1

x23

[例1](2020·全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=e+ax-x.当x≥0时,f(x)≥x+1恒成立,求

2

a的取值范围.

11

3x23

【解析】由f(x)≥x+1得e+ax-x≥x+1,其中x≥0,

22

①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R.

②当x0时,分离参数a,

13

e---1

得a≥-22,

13

e---1

记g(x)=-22,

12

2(e1)

(-)-2--

g(x)=-3.

1

x2

令h(x)=e-x-x-1(x0),

2

x

则h(x)=e-x-1,

xx

令H(x)=e-x-1,H(x)=e-10,

故h(x)在(0,+∞)上单调递增,

因此h(x)h(0)=0,

故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以h(x)h(0)=0,

1

x2

即e-x-x-10恒成立,

2

故当x∈(0,2)时,g(x)0,g(x)单调递增;

当x∈(2,+∞)时,g(x)0,g(x)单调递减.

2

7-e

因此,g(x)max=g(2)=4,

2

7-e

综上,实数a的取值范围是[4,+∞).

解题技法

分离参数法解决不等式恒成立问题的策略

(1)观察:已知含参数λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立.

(2)转化:将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离,可以将λ单独分离

到不等式一边,也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边.

(3)求最值:求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)

的形式确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等.

(4)得结论:若h(x)的最大值为M,