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数学竞赛专题讲座第一讲因式分解(一)--第1页

因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应

用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法

灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需

的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独

特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组

分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即

为因式分解中常用的公式：例如：

(1)ab=(a+b)(a-b)：

22

(2)a±2ab+b=(a±b)：

222

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)：

3322

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

3322

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)：

2222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)：

333222

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数：

nnn-1n-2n-32n-2n-1

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)：其中n为偶数：

nnn-1n-2n-32n-2n-1

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)：其中n为奇数．

nnn-1n-2n-32n-2n-1

运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指