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拓展拔高6双变量问题

【高考考情】近几年,在高考试题中常涉及“双变量”或“双参”问题,试题常常出现

在“压轴题”的位置.这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要

求较高,因此具有很好的区分度.

【解题关键】一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双

变量问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借用导数,判断函数的单

调性,从而求其最值.

视角一利用双变量的关系化为单变量

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2

[例1](2023·长春模拟)已知f(x)=x-2x+2alnx有两个极值点x,x,证

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2

明:f(x)+f(x)-3.

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【切入点】x,x是函数f(x)的两个不等的极值点,则x,x是方程f(x)=0的两个不

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等实根,由根与系数的关系可得x,x之间的关系,由此可利用替换法将双变量化

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为单变量.

2

2-2+2

【证明】f(x)=x-2+=(x0).

因为函数f(x)有两个极值点x,x,

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2

所以方程x-2x+2a=0有两个正根x,x.

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+=2

所以{12,且Δ=4-8a0,

1·2=20,

1

解得0a.

2

1212122

由题意得f(x)+f(x)=-2x+2alnx+-2x+2alnx=(+)-2(x+x)+2aln

122111222221212

1

2

(x·x)=(x+x)-x·x-2(x+x)+2aln(x·x)=2aln(2a)-2a-2,

1212121212

2

1

令h(a)=2aln(2a)-2a-2(0a),

2

则h(a)=2ln(2a)0,

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所以y=h(a)在(0,)上单调递减,所以h(a)h()=-3,所以f(x)+f(x)-3.