第三章　第七节　第1课时　函数的零点与方程的解、二分法.pdf

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第七节函数的应用

第1课时函数的零点与方程的解、二分法

【课标解读】【命题说明】

【课程标准】高考命题常以基本初等函数

及其图象为载体,考查函数零

1.会结合二次函数的图象,判断一元

考向点是否存在、存在的区间及

二次方程实根的存在性及实根的个

数,了解函数的零点与方程根的关考法个数,利用零点的存在情况求

参数是高考热点,常以选择题

系.

或填空题的形式出现.

2.根据具体函数的图象,能够借助计

预计2025年高考函数与方程

算工具利用二分法求相应方程的近

仍会出题,可能以选择题或填

似解.

预测空题考查三种形式的灵活转

【核心素养】

化,也可能与导数结合考,题

数学抽象、逻辑推理、直观想象.目的难度较大.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那

么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c

也就是方程f(x)=0的解.

微点拨函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断

函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在

这个区间上存在零点的充分不必要条件.

2.二分法

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零

点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似

值的方法叫做二分法.

常用结论

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的

零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.

2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出

f(a)·f(b)0,如图所示,

所以f(a)·f(b)0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.

3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.

基础诊断·自测

类型辨析改编易错高考

题号1243

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数f(x)=2x的零点为0.(√)

(2)函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点.(×)

22

(3)二次函数y