第三章　第三节　二次函数与幂函数.docx

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第三节二次函数与幂函数

【课标解读】

【课程标准】

1.通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数

2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等).

【核心素养】

数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象.

【命题说明】

考向

考法

主要考查幂函数与二次函数的图象和性质,常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题.

预测

预计2025年高考对于幂函数以幂函数的图象和性质应用为主.对于二次函数的考查一般与其他知识综合,题型一般为选择题、填空题.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0,+∞)上都有定义;

②当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;

③当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;

④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.

微点拨幂函数的特征:(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;

(2)xα的系数为1;

(3)只有一项.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).

零点式(或两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数

y=ax2+bx+c

(a0)

y=ax2+bx+c

(a0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域

[4ac

(-∞,4ac

对称轴

x=-b

顶点坐标

(-b2a,

奇偶性

当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数

函数

y=ax2+bx+c

(a0)

y=ax2+bx+c

(a0)

单调性

在(-∞,-b2a]上单调递减

在[-b2a,+∞)上单调递

在(-∞,-b2a]上单调递增

在[-b2a,+∞)上单调递

微点拨对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.

常用结论

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当a0,Δ0时,恒有f(x)0;当a0,

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.

(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

(3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α0;若在(0,+∞)上单调递减,则α0.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2

3,4

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数y=2x13是幂函数.(×

(2)当α0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.(√)

(3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(×)

(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a0且Δ0.(√)

提示:

(1)

幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2x1

×

(3)

当a0时,单调递增区间是[1,+∞)

×

2.(人A必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(12,22),则k+α=(

A.12 B.1 C.32 D

【解析】选C.由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(12,22),所以12α=22,解得α=12,则

3.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)f(10-2a),则实数a

【解析】f(x)=x-

且在定义域内是减函数,

所以a+110-2a0,解得3a5.

答案:(3,5)

4.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1在区间[-1,1]上不等式f(x)2x+m恒成立,则实数m的取值范围是.?

【解析】f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.

因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,

所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-10,得m-1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞