第十一章　第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差.docx

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第五节离散型随机变量及其分布列、均值与方差

【课标解读】

【课程标准】

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.

2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.

【核心素养】

数据分析、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

离散型随机变量的分布列是高考考查重点,常以实际问题为背景,与排列组合结合在一起交汇命题,各种题型均有考查.

预测

预计2025年高考仍会在离散型随机变量、分布列出题,其中期望与方差的应用命题更加灵活、多变.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.离散型随机变量

一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0,i=1,2,…,n;

②p1+p2+…+pn=1.

微点拨

分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.

4.离散型随机变量的均值与方差

一般地,若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.

(2)方差

D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为

微点拨

(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.

(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.

5.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.

(5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)

提示:离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1.

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出,

X

2

5

P

0.3

0.7

则它服从两点分布.(×)

提示:X的取值不是0,1,故不是两点分布.

(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.(√)

2.(选择性必修三P63例1改编)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为()

A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1

【解析】选C.某篮球运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.

3.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑i=1npi

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4

B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1

C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3

D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2

【解析】选B.对于A,该组数据的平均数为(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,

方差为(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;

对于B,该组数据的平均数为(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,

方差为(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;

对于C,该组数据的平均数为(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,

方差为(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2