13-第一章第三节(概率统计).pptVIP

用概率的统计定义来估计概率的方法,在过去和现在解决了不少问题,但它们

在理论上存在缺陷,在应用上也有局限性.例如,在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的“充分大”,也不清楚试验次数应该大到什么程度,因此概率的统计定义不能作为数学意义上的定义.讲评“频率”与“概率”的区别：(1)事件的频率与概率有着本质区别:频率具有随机波动性,是一个变数;而概率是一个常数,具有客观性.(2)概率的统计定义只是一种描述,它指出了事件的概率是客观存在的,随着试验次数的增加,频率在概率附近摆动.因此,在实际问题中,当试验的次数n很大时,频率通常作为概率的近似值.1.3.4建立理论定义3设E是随机试验,Ω是E的样本空间,若对于E的每一随机事件A,有确定的实数P(A)与之对应,如果集合函数P(·)满足下列条件：(1)非负性：对于每一事件A,有0≤P(A)；(2)规范性：对必然事件Ω,有P(Ω)=1；(3)可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,…,An,…,有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…(1.3.1)则实数P(A)称为事件A的概率.1.概率的公理化定义对上面讲过的“频率”定义、“概率统计”定义都满足这个定义中的条件要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情形.在第五章中将证明,当试验次数n→∞时频率fn(A)在一定的意义下接近于概率P(A).因此,我们更有理由将概率P(A)用来表征事件A在一次试验中发生的可能性的大小.令An=,n=1,2,…,则概率的一些重要性质:证2.概率重要性质=并且AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).由概率的可列可加性得P()=由概率的非负性知P()≥0,因此,由上式得到P()=0.性质4P()=0.性质5(加法公式)对于两两互不相容的n个事件A1,A2,…,An,则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1.3.2)证令An+1=An+2=…=,由假设即得AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…).P(A1∪A2∪…∪An)==P(A1)+P(A2)+…+P(An),(1.3.2)式得证.讲评:关键词是两两互不相容.一般情形见(1.3.10)式.由概率的可列可加性(1.3.1)得性质6(差事件概率)设A,B为两个事件,若AB,则有P(B－A)=P(B)－P(A).(1.3.6)讲评:关键词是AB.否则不成立.这里隐含P(A)≤P(B).如若P(A)=,P(B)=,则P(B)-P(A)=一般情形是概率减法公式P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB).由AB知B=A∪(B－A),且A(B－A)=,由概率的有限可加性(1.3.2)得到P(B)=P(A)+P(B－A),移项,(1.3.6)式得证.证推论1(保序性)若AB,则P(A)≤P(B).证由概率的非负性,得P(B－A)≥0.由(1.3.6)式得到P(A)≤P(B).性质7对于任意事件A,都有P(A)≤1.证因为对于任意事件A,都有AΩ,由概率的保序性和规范性,得P(A)≤P(Ω)=1.可见,对于任意事件A,概率的有界关系为0≤P(A)≤1.讲评:在计算用“至少”或“至多”描述的事件A的概率P(A)时,常常考虑事件A的对立事件,利用公式P(A)=1－P()计算P(A).推广至P(A1∪A2…∪An)=因为A∪=Ω,由规范性和有限可加性(3.2)得到1=P(Ω)=P(A∪