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四川省遂宁高级试验学校2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题理

一、单选题

1．下列说法正确的是（）

A．侧棱垂直于底面的棱柱肯定是直棱柱

B．棱柱中两个相互平行的平面肯定是棱柱的底面

C．棱柱中各条棱长都相等

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面肯定不是平行四边形

2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则平面图形的面积为（）

A．B．C．D．

3．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（）

A．存在一条直线，//且B．存在一条直线，//且

C．存在一个平面，且//D．存在一个平面，//且//

4．圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（）

A． B． C． D．

5．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是

A．B．C．D．

6．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（）

A． B． C． D．

7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A． B．

C． D．

8．若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是（）．

A． B．

C． D．

9．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）

A．36π B．64π

C．81π D．100π

10．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为和，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）

A．B．C．D．

11．已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（）

A． B． C． D．

12．已知A，B，C三点都在表面积为的球的表面上，若，，则球内的三棱锥的体积的最大值为（）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．如图所示正方形OABC的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．

14．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则它的侧面积为_______

15．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点动身经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.

16．如图，四棱锥中，，矩形的周长为8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为和，则的值为______.

三、解答题

17．如图所示（单位：cm），四边形是直角梯形，求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积.

18．在四面体中，点，，分别是，，的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成的角.

19．如图，正方体中，，，分别在棱，，上，且，相交于点.

（1）求证：，，三线共点.

（2）若正方体的棱长为2，且，分别是线段，的中点，求三棱锥的体积.

20．如图，在直三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥E--BCD的体积．

21．如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．

22．如图所示，在四棱锥QUOTE中，底面QUOTE为正方形，侧棱QUOTE⊥底面QUOTE(PA垂直于底面ABCD全部直线),QUOTE,QUOTE分别为QUOTE上的动点，且QUOTE．

（1）若QUOTE，求证：QUOTE∥QUOTE；

（2）求三棱锥QUOTE体积最大值．

数学理科参考答案

1．A2．C3．C4．C5．C6．C7．D8．A9．C10．C11．B12.C

11.【详解】如图所示，

将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，

因为正四面体的表面积为，

所以，

因为是正三角形，所以，，

设正方体的边长为，则：，解得：

所以正四面体的外接球直径为，

设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，正四面体的外接球半径为，

由截面圆的性质可得：

当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.

又，所以的最大值为，此时最小为

所以过点的最小截面圆的面积为，故选B．

12．如图，由球的表面积为，得球的半