第三章　第五节　对数与对数函数.docx

PAGE

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。

第五节对数与对数函数

【课标解读】

【命题说明】

【课程标准】

1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.

3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a0,a≠1)互为反函数.

【核心素养】

数学抽象、逻辑推理、数学运算.

考向

考法

高考命题常以考查对数的运算性质为主,考查学生的运算能力;对数函数的单调性及应用是考查热点,常以选择题或填空题的形式出现.

预测

预计2025年高考会考查基本的对数运算、图象与性质,另外对数运算还可能与其他知识综合考查.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.对数的概念

一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

以10为底的对数叫做常用对数,记为lgN.?

以e为底的对数叫做自然对数,记为lnN.?

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a0,且a≠1,

(2)对数的运算性质

如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:

①loga(MN)=logaM+logaN;

②logaMN=logaM-logaN

③logaMn=nlogaM(n∈R).

(3)换底公式:logab=logcblogca(a0,且a≠1,

微点拨(1)换底公式的变形

①logab·logba=1,即logab=1logba(a

②logambn=nmlogab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈

③logNM=logaMlogaN=logbM

(2)换底公式的推广

logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d0).

3.对数函数的图象与性质

y=logax

a1

0a1

图象

定义域

(0,+∞)

值域

R

性质

过定点(1,0),即x=1时,y=0

当x1时,y0;

当0x1时,y0

当x1时,y0;

当0x1时,y0

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y=ax(a0且a≠1)与对数函数y=logax(a0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

常用结论

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab=1logba(a0,且a≠1;b

(2)logambn=nmlogab(a0,且a≠1;b0;m,n∈R,且

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图,

作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.

故0cd1ab.

由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)log2x2=2log2x.(×)

(2)若MN0,则loga(MN)=logaM+logaN.(×)

(3)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(

(4)当x1时,若logaxlogbx,则ab.(×)

提示:

(1)

log2x2=2log2|x|.

×

(2)

当M0,N0时,虽然MN0,但loga(MN)=logaM+logaN不成立.

×

(4)

若0b1a,则当x1时,logaxlogbx.

×

2.(必修第一册P126练习T1(2)改条件)计算:2lg5-lg4-12

A.10 B.1 C.2 D.lg5

【解析】选B.原式=lg(5)2+lg

3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()

A.25 B.5 C.259 D.

【解析】选C.由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25.又b=log83=log23log28=13log23,所以a-3b=log25-log23=log253=log453log42=2log4

4.(忽视对数函数的单调性)函数y=logax(a0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为.?

【解析】当a1时,依题意得loga4-loga2=1,

解得a=2;当0a1时,依题意得loga2-loga4=1,解得a=12

答案:2或1

【核心考点·分类突破】

考点一对数的运算

1.(多选题)(2024·宜昌模拟)下列各式化简运算结果为1的是()

A.log53×log32×log25

B.lg2+12

C.logaa2(a0,且a

D.eln