第十一章　第六节　二项分布与超几何分布.docx

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第六节二项分布与超几何分布

【课标解读】

【课程标准】

1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.

2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.

【核心素养】

数据分析、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

二项分布、超几何分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.

预测

预计2025年高考二项分布、超几何分布仍会出题,且与现实生活联系密切,注意数学建模的训练.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

一、二项分布

1.伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.

2.二项分布

一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).

微思考二项分布列公式与二项式定理通项公式是完全一样的?

提示:二者是不同的,二项分布列公式有它的实际意义,且两者形式也是有区别的.

3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,

D(X)=p(1-p).

(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).

二、超几何分布

一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为

P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r

微点拨

超几何分布与二项分布的关系

若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的.

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2

3,4

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.(√)

(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(√)

(3)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.(√)

(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.(×)

2.(选择性必修第三册P77练习T2变条件、变设问)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为()

A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45

【解析】选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X~B5,

所以PX=4=C54×0.94×0.1≈0

3.(“至少”问题理解错误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.63

4.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题,乙能正确完成每道题的概率为23,且每道题完成与否互不影响,记乙能答对题数为Y,则Y的数学期望为________

【解析】由题意Y~B(3,23),所以E(Y)=3×23

答案:2

【核心考点·分类突破】

考点一n重伯努利试验及其概率

[例1](1)(2023·太原质检)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:

使用时

间/天

10~20

21~30

31~40

41~50

51~60

个数

10

40

80

50

20

若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()

A.1316 B.2764 C.2532

【解析】选D.由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为34,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P=C3