第五章　第二节　三角函数的同角关系、诱导公式.docx

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第二节三角函数的同角关系、诱导公式

【课标解读】

【课程标准】

1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα

2.掌握诱导公式,并会简单应用.

【核心素养】

数学抽象、数学运算.

【命题说明】

考向

考法

高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.

预测

预计2025年高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,应增强转化与化归思想的应用意识,选择题、填空题、解答题均有可能出现.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.?

(2)商数关系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,k

2.三角函数的诱导公式(k∈Z)

公式

角

正弦

余弦

正切

一

2kπ+α

sinα

cosα

tanα

二

π+α

-sinα

-cosα

tanα

三

-α

-sinα

cosα

-tanα

四

π-α

sinα

-cosα

-tanα

五

π2-

cosα

sinα

六

π2+

cosα

-sinα

微点拨诱导公式的记忆口诀:

“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化

常用结论

1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=±1-cos2α

2.商数关系的常用变形:cosαtanα=sinα,cosα=sinα

3.和积互化变形:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.

4.弦切互化变形:sin2α=sin2α

cos2α=cos2α

sinαcosα=sinαcosα

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

题号

1

2,3

4

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)使sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()

(2)若α∈R,则sin(π2-α)=sinα.(

(3)若α∈R,则sin2α+cos2α=1.()

(4)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.

提示:因为α∈R,sin(π+α)=-sinα成立,所以(1)错误;因为α∈R,sin(π2-α)=cosα,所以(2)错误;由同角三角函数间的关系可知,(3)正确;因为tanα=sinαcosα在α≠π2+kπ(

答案:(1)×(2)×(3)√(4)×

2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sinα=-12,则cosα=

【解析】已知α是第四象限角,且sinα=-12

所以cosα=1-sin

答案:3

3.(必修第一册P186T15变结论)已知tanα=-2,则2sinα+cosα

A.-4 B.-1

C.-1 D.-1

【解析】选C.2sinα+cosαcosα-

4.(记错公式)下列等式恒成立的是()

A.cos(-α)=-cosα

B.sin(360°-α)=sinα

C.tan(2π-α)=tan(π+α)

D.cos(π+α)=cos(π-α)

【解析】选D.因为cos(-α)=cosα;sin(360°-α)=-sinα;tan(2π-α)=-tanα,tan(π+α)=tanα;cos(π+α)=-cosα,cos(π-α)=-cosα.

【核心考点·分类突破】

考点一同角三角函数间的关系

考情提示

同角三角函数的基本关系常与三角函数相关知识融合在一起进行命题,以公式变形为主解决相关运算问题,题型多为选择题、填空题.

角度1公式的直接应用

[例1](1)(2023·惠州模拟)已知tanα=2,πα3π2,则cosα-sinα=(

A.55 B.-55 C.355

【解析】选A.因为tanα=sinαcosα=2,且sin2α+cos2α=1,πα3π2,所以sinα=-255,cosα=-55,所以cosα-sinα=-55

(2)已知cosα=-513,则13sinα+5tanα=

【解析】因为cosα=-5130且cosα

所以α是第二或第三象限角.

①若α是第二象限角,

则sinα=1-cos2α

所以tanα=sinαcosα=12

此时13sinα+5tanα=13×1213+5×(-125)

②若α是第