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高中数学主干知识清单

不等式

知识提炼

1.不等式的基本性质

(1)ab⇔ba(对称性);

(2)ab,bc⇒ac(传递性);

(3)ab⇒a+cb+c(加法单调性);

(4)ab,cd⇒a+cb+d(同向不等式相加);

(5)ab,cd⇒a-cb-d(异向不等式相减);

(6)ab,c0⇒acbc,ab,c0⇒acbc(乘法单调性);

(7)ab0,cd0⇒acbd(同向不等式相乘);

(8)ab0,0cd⇒(异向不等式相除);

11

(9)ab,ab0⇒(倒数关系);

nn

(10)ab0⇒ab(n∈Z,且n1)(平方法则);

(11)ab0⇒(n∈Z,且n1)(开方法则).

2.基本不等式

22

(1)如果a,b∈R,那么a+b≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

+

(2)如果a0,b0,那么2≥,当且仅当a=b时,等号成立.

用基本不等式求最值时注意的三个条件:“一正,二定,三相等”.

(3)极值定理:已知x0,y0,则有:①若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;②若和

1

2

x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值s.

4

2+2+2

(4)不等式链:如果a,b都是正数,那么11≤≤2≤2(当且仅当a=b时取等号).

+

3.一元二次不等式的解集

判别式

2Δ0Δ=0Δ0

Δ=b-

4ac

二次函

数

2

y=ax+

bx+c(a

0)的

图像

一元二

次方程有两相有两相

2

ax+bx异实根等实根

无实根

+c=0(ax=x=-

x,x(x12

121

b

0)的x)2a

2

根

判别式

2Δ0Δ=0Δ0

Δ=b-

4ac

2

ax+bx

+c0(a{x|xx1{x|x≠-

bR

0)的或xx}}

22a

解集

2

ax+bx{x|xx

+c0(a1Ø