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第2章时域离散信号和系统的频域分析

2.1学习要点与重要公式

2.2FT和ZT的逆变换

2.3分析信号和系统的频率特性2.4例题

2.5习题与上机题解答

2.1学习要点与重要公式

数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）

和离散傅里叶变换（DFT）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，

这方便了对信号和系统的分析和处理。

三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。Z

变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。

在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因

此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算

法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。但是离散傅里叶变换不同于傅里

叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。但

更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。本章只学习前

两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。

2.1.1学习要点

（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。

（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积

定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变

换的共轭对称性。

（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。

（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。

（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积

定理、初

值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。

（6）系统的传输函数和系统函数的求解。

（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。

（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。

（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。

2.1.2重要公式

（1）

这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。注意正变换存在的条件是序列服从绝

对可和的条件，即

（2）

这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对，可用以表现周期序列的频谱特性。

（3）

该式用以求周期序列的傅里叶变换。如果周期序列的周期是N，则其频谱由N条谱线组

成，注意画图时要用带箭头的线段表示。

（4）若y(n)=x(n)*h(n),则

这是时域卷积定理。

（5）若y(n)=x(n)h(n),则

这是频域卷积定理或者称复卷积定理。

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（6）

式中,xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列，常用以求序列的xe(n)

和xo(n)。

（7）

这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。

（8）

前