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数学物理方法复习资料及参考答案（一）

一、填空题：

1.复数用三角式可表示为（主辐角）。

2.已知幂级数和的收敛半径分别是和，则幂级数的收敛半径为：。

3.勒让德多项式的模。

4.在的邻域上，展开的洛朗级数为：。

5.函数的留数＝。

6.求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为，初始速度为，。

7.在的邻域上，的泰勒级数为：。

8.幂级数的收敛圆：。

9.数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。

10.在本征值问题中，方程

称为______微分方程，该本征值问题的本征值____，相应本征函数是__________，其中________，

该本征函数称为_________，写出它的表达式(至少一种)：________________。

二、简答题：

1、孤立奇点分为几类？如何判别？

2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。

三、基础题：

1、计算实变函数定积分

2、已知解析函数的实部，，求虚部和这个解析函数。

3、设，证明

4、试证递推公式

四、综合题：

1、求解定解问题

2、求解定解问题

3、求解定解问题

参考答案

一、填空题：（每空2分，共30分）

1.2.

3.4.

5.6.

7.8.9.边界条件

10.勒让德、、、、勒让德多项式、

或

二、简答题（每题5分，共10分）

1.可去奇点、极点、本性奇点。

2.=1\*GB3①有无穷多个本征值：

相应地有无穷多个本征函数：

=2\*GB3②所有的本征值都大于或等于零：

=3\*GB3③相应于不同本征值和的本征函数和，在区间上带权重正交，即：

=4\*GB3④本征函数族是完备的。

三、基础题（每题6分，共24分）

1.解：

因为被积函数是偶函数，所以

本题中，

它在上半平面的奇点有两个：一阶极点，二阶极点，……（2分）

……（2分）

所以，……（2分）

2.解：

……（2分）

由条件，得：，

则：

得：，

得：，（为常数）……（2分）

因为：，，故：……（2分）

3.证：

先对原式进行拉普拉斯变换有：

……（3分）

再对上式进行拉普拉斯逆变换有：

命题得证。……（3分）

4.证：

由母函数公式：

对求导，得：……（3分）

两边同乘以，得：

再由母函数公式，得：

比较两边的的系数，得：

整理后，命题得证。……（3分）

四、综合题：（每题12分，共36分）

1.解：

令

由分离变量法解得：

…（6分）

得：…（2分）

代入初始条件有，

比较两边系数可得：

故：…（4分）

2.解：

极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：

…（4分）

考虑圆外自然边界条件：

…（2分）

则可得：…（2分）

由边界条件：

比较两边系数可得：…（2分）

故：…（2分）

3.解：

由于边界条件与无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：…（4分）

考虑圆心的自然边界条件：