25届（新教材QG版）数学新考案基础课59离散型随机变量及其分布列、数字特征.docx

基础课59离散型随机变量及其分布列、数字特征

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

离散型随机变量的分布列、期望与方差

理解

2023年新高考Ⅰ卷T

2023年全国甲卷（理）T

2022年全国甲卷（理）T

2022年北京卷T

2022年浙江卷T

★★★

逻辑推理

数学建模

数学运算

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，一般以解答题的形式出现，难度中等偏上，命题热点是以离散型随机变量为载体，常常与排列组合、二项分布、超几何分布交汇，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点.预计2025年高考的命题情况变化不大，但应加强对题目的理解、板块综合运用的训练

一、离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有①唯一的实数Xw与之对应，我们称X

二、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，?，xn，我们称②X取每一个值xi的概率PX=xi=

三、离散型随机变量的分布列的性质

1.pi

2.③p1

四、离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

x

x

…

x

…

x

P

p

p

…

p

…

p

1.均值

称EX=④x1p

2.方差

称DX=x1?EX2p1+

五、均值与方差的性质

1.EaX

2.DaX+b=⑩a

均值与方差的四个常用性质

1.Ek=k，D

2.EX

3.DX

4.若X1，X2相互独立，则

5.若X是随机变量，则YY

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(√)

（2）在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)

（3）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)

（4）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.(√)

2.（多选题）（易错题）已知随机变量X的分布列为PX=n=a

A.P

B.a

C.P

D.以上均不正确

【易错点】随机变量分布列概率和为1，此处容易忽略随机变量取0的情况.

[解析]根据题意，随机变量X的分布列为PX=n=an+1n

题组2走进教材

3.（双空题）（人教A版选修③P71?T3改编）已知随机变量X的分布列为PX=0=0.2，PX=1

[解析]由题意知，0.2+a+b=

4.（多选题）（人教A版选修③P60·例3改编）编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则(BCD).

A.ξ的所有可能取值是1，2，3 B.P

C.Eξ=1

[解析]ξ的所有可能取值为0,1,3，故A错误.ξ=0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则Pξ=0=2A33=13

ξ

0

1

3

P

1

1

1

故Eξ=0×13+1×1

题组3走向高考

5.[2022·浙江卷]（双空题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取的卡片上数字的最小值为ξ，则Pξ=2

[解析]从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中任取3张共有C73种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C41+C21C42种，所以Pξ=

考点一离散型随机变量分布列的性质［自主练透］

1.设离散型随机变量X的分布列为

X

?

0

1

P

1

1

q

则q=(B

A.12 B.1?22 C.

[解析]由题意，有12+1?2q+q2=

2.设随机变量ξ的概率分布列如表所示：

ξ

1

2

3

4

P

1

1

a

1

则Pξ?2

A.712 B.12 C.512

[解析]根据随机变量ξ的概率分布列知，16+14+a+13=1，解得a

3.[2024·济南模拟]（多选题）设离散型随机变量ξ的分布列如表所示：

ξ

?

0

1

2

3

P

1

1

1

1

2

则下列各式不正确的是(ABD).

A.Pξ3

C.P2ξ

[解析]Pξ3=110+15+110+15=3

4.设离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

0.2

0.1

0.1

0.3

m

（1）求2X+

（2）求随机变量η=

[解析]（1）由分布列的性质知，0.2+0.1+

列表为

X

0

1

2

3

4

2X

1

3

5

7

9

从而2X+

2X

1

3

5

7

9

P

0.2

0.1

0.1

0.3

0.3

（2）由（1）知m=

X

0

1

2

3

4

X

1

0

1

2

3

所以Pη=1=PX=

故η=