中考数学知识点51 二次函数与最值的六种考法-重难点题型.docxVIP

二次函数与最值的六种考法-重难点题型

【知识点1定轴定区间】

对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：

（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．

（2）若，如图②，当，；当，．

（3）若，如图③，当，；当，．

（4）若，，如图④，当，；当，．

【知识点2动轴或动区间】

对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．

【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】

【例1】（2021春?瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）

A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4

C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4

【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．

【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，

∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，

∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，

故选：D．

【变式1-1】（2020秋?龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．

【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．

【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x?32）2+m

∴该函数开口向上，对称轴为x=3

∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，

∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，

解得m＝1，

故答案为：1．

【变式1-2】（2021?哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．

【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．

【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，

∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，

∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，

∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，

∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，

故答案为：9．

【变式1-3】（2020秋?番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．

【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．

【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，

可知函数顶点坐标为（3，﹣4），

当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，

即（x﹣1）（x﹣5）＝0，

解得x1＝1，x2＝5．

如图：m＝﹣4，

当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．

则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．

【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】

【例2】（2021?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）

A．3 B．﹣3或38 C．3或?38

【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．

【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，

∴对称轴为直线x＝﹣1，

①m＞0，抛物线开口向上，

x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，

解得：m＝3；

②m＜0，抛物线开口向下，

∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，

∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，

解得：m=?3

故选：C．

【变式2-1】（2021?瓯海区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）

A．1 B．34 C．?35

【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．

【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，

∴该函数的对称轴是直线x＝2，

又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，

∴a＜0，

∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，

∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，

解得a=?1

故选：D．

【变