25届（新教材QG版）数学精练案基础课19任意角、弧度制和三角函数的概念.docx

第四单元三角函数、解三角形

基础课19任意角、弧度制和三角函数的概念

课时评价·提能

基础巩固练

1.若α是第四象限角，则180°+α

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

[解析]∵α是第四象限角，∴k?

∴k?360

∴180°+α的终边在第二象限

2.若一钟表的秒针长12cm，则经过25s，秒针的端点所走的路线长为（

A.20cm B.14cm C.10πcm

[解析]经过25s，秒针走过的弧度为?

因此，秒针的端点所走的路线长为12×5π6

3.已知集合M={x|x=k?180°2±45°

A.M=P B.M?P C.

[解析]因为M={x|x=

P={x|x=

所以M?P.故选

4.已知扇形的面积是9，周长是12，则扇形圆心角的弧度是（B）.

A.1 B.2 C.3 D.4

[解析]设扇形的半径为r，弧长为l，

则2r+l=12

故圆心角α=lr=

5.（改编）点Ptan2024°

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

[解析]因为2024°=5×360°

则tan2024°

所以点Ptan2024°,cos2024°

6.已知角θ=2024π3，且角θ的终边经过点Px

A.±2 B.2 C.?2

[解析]tan2024π3=tan674π+2

7.下列说法中正确的是（D）.

A.第三象限角大于第二象限角

B.若P2a,aa

C.若α，β的终边不相同，则cos

D.tanx=?3的解集为

[解析]对于A,若α=?150°,β=120°,则α,β分别为第三象限角和第二象限角，但是α

对于B，cosα=2a2a2+

对于C，当α=?β+2kπ,k∈Z时，

对于D，由tanx=?3得x=kπ?π3,k∈

8.已知角α的终边在直线y=3x上且sinα0

A.1010 B.?1010 C.3

[解析]设Px0,3x0x0≠0为直线

则sinα=3x0r

cosα=x0

综合提升练

9.（多选题）下列说法中正确的是（CD）.

A.正角的正弦值是正的，负角的余弦值是负的，零角的正切值是零

B.若tanα≥0，则

C.tan

D.对任意角α(α≠k

[解析]正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负、可为零，故A错误；

若tanα≥0，则kπ≤απ2

tan?945°=?tan945°

因为tanα，1tanα的符号相同，所以tanα+1tanα=

10.（多选题）如图，质点A和B在单位圆O上逆时针作匀速圆周运动.若点A和点B同时出发，点A的角速度为1rad/s，起点位置坐标为(12,32)，点B的角速度为2

A.在1s末，点B的坐标为

B.在1s末，扇形AOB的弧长为

C.在7π3s末，点A

D.△AOB面积的最大值为

[解析]在1s末,点B的坐标为cos2,sin2，点A的坐标为(cosπ3+1,sinπ3+1)，∠AOB=

设在ts末，点A,B在单位圆上第二次重合

则2t?t=t=2π+π3=7π3，故在7π

S△AOB=12sin∠AOB,经过5π6s后，可得∠AOB=π2，

11.若将钟表拨快10分钟，则分针转过的角为?π3

[解析]将钟表拨快10分钟，即分针顺时针旋转π3，由任意角的概念可知将钟表拨快10分钟，则分针转过的角为?

12.（双空题）在平面直角坐标系xOy中，将点A3,1绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为?1,3;若直线

[解析]设点A3,1为角θ终边上一点，如图所示

由三角函数的定义可知sinθ=1

则θ=k?360°+30

将点A3,1绕原点O逆时针旋转90°

得直线OB的倾斜角为120°，且点B在120°

由三角函数定义可得点B的坐标为2cos

即B?1,3，且α

应用情境练

13.1874年欧拉第一次提出将角置于圆内，以有向线段与半径的比值定义三角函数.如图，在单位圆中，定义角α的正弦线为有向线段MP，角α的余弦线为有向线段OM.若在单位圆内，角α和角β均以Ox轴为始边，两角的终边关于y轴对称，且对应正弦的值均为13，则cosα

[解析]由题意得sinα=sinβ=1

故cosα

14.哥特式建筑的结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图，AC?所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB=α,AC=m

[解析]如图，过点C作CD⊥AB于点D.设AC?所在圆的半径为R，

在Rt△ADC中，∠CAD=

所以AD=mcos

所以OD=

在Rt△ODC中，有CD

即msin

整理可得R=

因为AO=OC=R