空间中点、直线和平面的向量表示 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.1.1

空间中点、线、面的向量表示

1.能用向量语言描述点、直线和平面；2.理解直线的方向向量和平面的法向量.学习目标1.教学重点：理解直线的方向向量和平面的法向量.2.教学难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.重难点

几何中点线面向量中？？？探究新知我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．

如何用向量表示空间中的一个点？思考1定点OPp向量的坐标起点的坐标终点的坐标坐标探究新知如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量.点→点+位置向量

???根据空间两点的距离公式建立方程求解?

P几何中向量中点方向向量aAB点P在直线l上充要条件一个点一个方向+如何用向量表示空间中的直线？思考2探究新知l如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：存在实数t，使得，即线→点+方向向量

?PaAB进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，O?①②式称为空间直线l的向量表示.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

?D??

?AC??

（1）不共线的三点确定一个平面（2）直线和直线外一点确定一个平面（3）两条相交直线确定一个平面（4）两条平行直线确定一个平面（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？探究新知如何用向量表示空间中的平面？思考3OPab这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用.

abBCPAO探究新知我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

?l如何用向量表示空间中的平面？思考（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？AP?a??平面的法向量

yxzDABCD1A1B1C1M课本例题已知长方体ABCD--A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.（1）求平面BCC1B1的一个法向量；（2）求平面MCA1的一个法向量．

解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.z是自由变量

最好法向量不要出现分数，方便运算求平面法向量的步骤

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1、空间中点、直线和平面的向量表示点→点+位置向量线→点+方向向量平面→点+法向量设向量选向量列方程组解方程组赋非零值得结论2、归纳求平面法向量的步骤：课堂小结