第八章　第七节　利用空间向量研究距离问题.pdf

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观

看比例，答案解析附后。板块。

第七节利用空间向量研究距离问题

【课标解读】

【课程标准】

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的

距离问,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的

作用.

【核心素养】

直观想象、数学运算、逻辑推理.

【命题说明】

考向高考题常以体积为载体,考查空间中点线距、点面距.求空间几何体的

考法体积是高考热点,主要在解答题中体现.

预测2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.两点距

即求空间中两个点连线的线段长,转化为向量的模求解.

2.点到直线的距离

设A是直线l上的定点,P是直线l外一点,若u是直线l的单位方向向量,是

在l上的投影向量,设=a,则点P到直线l的距离PQ=||2-||2=

22

.

-(·)

微点拨已知向量a,直线l的单位方向向量为e,则向量a在e方向上的投影向

··

量为||cosa,e·e,即||·e=·e,故其模为||.

·

||||||

3.点到平面的距离公式

如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交

平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线

l上的投影向量的长度,则PQ=|·|=|·|=|·|.

||||||

4.异面直线间的距离

(1)定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离.

(2)求解公式:如图,设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a,b

上任取A,B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则

|·|

d=|·|=.

||||

即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向

量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

基础诊断·自测

类型辨析改编易错

题号12,34

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)点到平面的距离是该点与平面上点距离的最小值.(√)

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线长度的最小值.(√)

(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(√)

(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(×)

提示:由距离的最小性可知(1)(2)正确;(3)中直线l上任意点到平面α的距离相等,

正确;(4)中直线l可能与平面α相交.

2.(选择性必修一P34