备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十五　椭圆的几何性质.docx

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五十五椭圆的几何性质

(时间:45分钟分值:90分)

【基础落实练】

1.(5分)(2024·广州模拟)已知椭圆E的方程为x2+(y-2)

A.长轴长为16 B.短轴长为43

C.焦距为2 D.焦点为(-2,0),(2,0)

【解析】选B.因为x2+(

所以椭圆E是以(0,2),(0,-2)为焦点的椭圆,

设椭圆E:x2b2+y2a2=1(a

由b2=a2-c2=12可知其方程为x212+

由方程可得长轴长为8,焦距为4,短轴长为43.

2.(5分)(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为

A.32 B.22 C.12

【解析】选A.已知A(-a,0),

设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),

kAP=y0x0+a,

故kAP·kAQ=y0x0+a·y0

因为x02a2+y02

②代入①整理得:b2a2=14,e=ca

3.(5分)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若B

A.x218+y216=1 B.

C.x23+y22=1 D.x

【解析】选B.依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(

BA1·BA2=-a2+b2=-(a2-b2)=-c

又C的离心率e=ca=1a=13,所以a=3,

b2=a2-c2=8,即C的方程为x29+y

4.(5分)若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·

A.2 B.3 C.6 D.8

【解析】选C.由题意,O(0,0),F(-1,0),

设P(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1,y),

所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.

又x24+y23=1,所以y2=3-

所以OP·FP=14x2+x+3=14(x+2)2

因为-2≤x≤2,所以当x=2时,OP·FP有最大值6.

5.(5分)(多选题)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C:x29+y25=1,点F1,F2是它的焦点,若一小球从点F1弹出沿直线运动,经椭圆壁反弹,当它第一次回到点F

A.2 B.8 C.10 D.12

【解析】选ACD.根据题意可知a=3,b=5,c=2,

①当小球从点F1沿长轴所在直线弹出时,

经椭圆壁反弹,当它第一次回到点F1时,经过的路程为2(a-c)=2或2(a+c)=10;

②当小球从点F1不沿长轴所在直线弹出时,

经椭圆壁反弹,当它第一次回到点F1时,经过的路程为4a=12.

6.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:x24+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=14

A.椭圆C的焦距为3

B.椭圆C的离心率为3

C.圆D在椭圆C的内部

D.|PQ|的最小值为6

【解析】选BC.因为椭圆方程为:x24+y

所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=ca=32,焦距为2

由x24+y2=1

因为Δ=82-4×3×7=-200,

所以椭圆与圆无公共点,又圆心(-1,0)在椭圆内部,所以圆在椭圆内部,故C正确;

设P(x,y)(-2≤x≤2),

则|PD|=(x+1

=34

当x=2-2×34=-43时,|PD|取得最小值23=63,则|

7.(5分)(2024·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程:____________.?

①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13

【解析】只要椭圆方程形如x29m+y28m=1(m0)或y

答案:x29+

8.(5分)(2024·漳州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4,离心率为

【解析】因为椭圆C的长轴长为2a=4,所以a=2,又因为离心率e=ca=32,所以c=

所以b=a2-c2=1,所以椭圆C

答案:2

9.(10分)设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的两焦点,B

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|

【解析】(1)由题意可知,a=2,b=1,则c=3,

所以|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2

(2)若C为椭圆上异于B的一点,且BF1=λCF

【解析】(2)设C(x0,y0),由题意可知,B(0,-1),F1(-3,0),由BF1=λCF1,得x0=3(1-λ)λ,y0=-1λ,又因为x024