备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十七　双曲线的定义、标准方程及其几何性质.docx

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五十七双曲线的定义、标准方程及其几何性质

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)(2024·青岛模拟)若点M在双曲线x216-y24=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF

A.2 B.4 C.8 D.12

【解析】选B.双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8,

由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因为|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.

2.(5分)已知双曲线C:x2a2-y

A.2 B.3 C.2 D.5

【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=±bax

由渐近线经过点(1,2),可得ba

故离心率为e=ca=c2a2=

【加练备选】

(2024·宁波模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),F1,F2分别为左、右焦点,点P在双曲线上,PF1⊥PF2,P到左焦点F1的距离是P

A.2 B.102 C.2 D.

【解析】选B.设双曲线C的半焦距为c0,由题意可知:|PF1|=3|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,可得|PF1|=3|PF2|=3a,

因为PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2

所以双曲线的离心率是e=ca=c2a

3.(5分)(2024·门头沟模拟)双曲线y2a2-x2b

为()

A.y=±2x B.y=±3x

C.y=±33x D.y=±2

【解析】选C.由已知可得ca=2,则c=2a,故b=c2-a

所以,双曲线的渐近线方程为y=±abx=±3

4.(5分)“m1”是“方程x2m-y2

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.因为方程x2m-

所以m(m-1)0,解得m0或m1,

因为由m1可推出m0或m1,但是由m0或m1,不能推出m1,

所以“m1”是“方程x2m-y

5.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)若方程x23-t+y2

A.若1t3,则C为椭圆

B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则2t3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线,则t1

【解析】选BC.方程x23-t

A.当1t3,取t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,A错误;

B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则t-13-t0,即2t3,所以B正确;

C.t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,所以C正确;

D.若C为双曲线,可得(3-t)(t-1)0,解得t3或t1,所以D错误.

6.(5分)(多选题)(2024·泉州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则(

A.△MF1F2的面积为5

B.点M的横坐标为2或-2

C.C的渐近线方程为y=±14

D.以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=3

【解析】选AB.由双曲线方程知a=2,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±12x

又c=a2+b2=5,所以以F1F2为直径的圆方程为x2

由y=±12xx

所以点M的横坐标为2或-2,故B正确;

又|yM|=1,所以S△MF1F2=12·|F1F2

7.(5分)(2024·齐齐哈尔模拟)与椭圆x212+y23=1有公共焦点,且离心率为

【解析】由椭圆方程x212+y23=1,可得焦点坐标分别为(3,0),(-3,0),设双曲线的半焦距为

因为双曲线的离心率为32,则e=ca=3a

故a=2,所以b=c2-a

所以双曲线的标准方程为:x24-y

答案:x24-

8.(5分)(2024·长春模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,

【解析】右顶点为(a,0),一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay

由题意|ab|b

即ac=12,所以e=c

答案:2

9.(10分)(2024·昆明模拟)求适合下列条件的双曲线标准方程.

(1)虚轴长为12,离心率为54

【解析】(1)设双曲线的标准方程为

x2a2-y2b2=1或y2a

由题知2b=12,ca=54,c2=a2+b

所以b=6,c=10,a=8,

所以标准方程为x264-y236=1或y

(2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±32x

【解析】(2)当焦点在x轴上时,由ba=32且a=3,所以b=

所以所求双曲线标准方程为x29-

当焦点在y轴上时,由ab=32且a=3,所以b

所以所求双曲线方程为y29-x

所以标准方程为x29-y2814=1或

(3)求与双曲线x2-2y2