备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业拓展拔高练四.pdf

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拓展拔高练四

(时间:45分钟分值:40分)

x

1.(10分)已知函数f(x)=ae-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x,x.证明:x+x2.

1212

x

【证明】由f(x)=ae-x=0,得-a=0,

e

1-

令g(x)=-a,则g(x)=,

ee

1-

由g(x)=0,得x1;

e

1-

由g(x)=0,得x1.

e

所以g(x)在(-∞,1)上单调递,

在(1,+∞)上单调递减,

由于x,x是方程g(x)=0的两个不相等的实根,

12

不妨设x1x,

12

方法一(对称构造函数法):要证x+x2,只要证x2-x1.

1221

由于g(x)在(1,+∞)上单调递减,因此只要证g(x)g(2-x).

21

由于g(x)=g(x)=0,

12

因此只要证g(x)g(2-x),

11

2-

令H(x)=g(x)-g(2-x)=-2-(x1),

ee

2-

1-1-(e-e)(1-)

则H(x)=-2-=2,

eee

因为x1,所以1-x0,2-xx,

2-x2-xx

所以ee,即e-e0,

所以H(x)0,所以H(x)在(-∞,1)上单调递.

所以H(x)H(1)=0,

1

即有g(x)g(2-x)成立,

11

所以x+x2.

12

方法二(比值代换法):设0x1x,

12

--

由g(x)=g(x),得xe1=xe2,

1212

等式两边取对数得lnx-x=lnx-x.