备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业三十　平面向量的数量积.docx

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三十平面向量的数量积

(时间:45分钟分值:85分)

【基础落实练】

1.(5分)如果向量a,b满足a=1,b=2,且a⊥(a-b),则a和b的夹角大小为()

A.30° B.135° C.75° D.45°

【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=a2-abcosa,

则1-1×2cosa,b=0,得cosa,b=22,0°≤a,b≤180°,所以a,b=45°

2.(5分)已知向量a,b满足a+b=5,a-b=4,则a·

A.9 B.3 C.6 D.9

【解析】选D.因为a+b=5,所以

即得a2+b2+2a·b=25,

又a-b=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=

3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量是()

A.(-3,3) B.(3,3)

C.(3,-3) D.(-3,-3)

【解析】选B.因为a=(2,23),b=(3,1),

所以a·b=2×3+23×1=43,b=(3

所以向量a=(2,23)在向量b=(3,1)上的投影向量为a·bb·bb=434

4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=52,则b=(

A.5 B.10 C.5 D.10

【解析】选A.因为a=(2,1),所以|a|=5,

又因为a·b=10,a+b=52,所以a+b2=50,即|a|2+2a·b+|b|

5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是()

A.若a·c=b·c,则a=b

B.若a+b=a-b

C.若a∥c,b∥c,则a∥b

D.若a∥b,则a·b=a

【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,

则accosa,c=bccosb,

则acosa,c=bcosb,c,

但cosa,c与cosb,c不一定相同,

所以得不到a=b,无法得到a=b,故A错误;

对于B,若a+b=

平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,

即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;

对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=abcosa,b

a·b=

若a∥b,则cosa,b=±1,若cosa,b=-1,原式不成立,故D错误.

6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记BC=e,则()

A.AD=2(AE+AC)

B.AB·(EA+2FA)=|AB|2

C.BC(CD·FE)=(BC·CD)FE

D.AE在CB方向上的投影向量为32

【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,

对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,AE+AC=2AO,

而AD=2,OD=EDsin30°=12,则AO=3

|AE+AC|=2|AO|=3|AD|,

所以AD≠2(AE+AC),A不正确;

对于B,AB⊥AE,∠BAF=120°,AB·(EA+2FA)=2AB·FA=2×1×1×cos60°=1=|AB|2,B正确;

对于C,FE=BC,则有CD·FE=BC·CD,因此BC(CD·FE)=(BC·CD)FE,C正确;

对于D,EF=CB=-e,AE,EF=150°,

|AE|=2|AF|cos30°=3,

向量AE在CB方向上的投影向量为

|AE|cosAE,CB·CBCB=3cos150°(-e)=32e

7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且AB=5,则AC·CB=.?

【解析】由题意,得圆C的半径为5,且AB=5,

由余弦定理知,cos∠ACB=52+5

所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-5×5×910=-45

答案:-45

8.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,则2a-b与b的夹角是

【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且a=1,b=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b2

2×1×2cosπ3

且2a-b=4

设向量2a-b与b的夹角为θ,

所以cosθ=(2a-b)·

因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π

答案:2π

9.(5分)已知向量a,b满足a+b=a-2b,其中b是单位向量,则a

【解析】因为b是单位向量,所以b=1.

因为a+b=a-2b,所以(a+b)2=(a

化简得2a·b=b2=1,即a·b=1