新教材2024年高考数学总复习考案14周测卷十数列的通项公式与数列的求和.docVIP

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考案[十四]周测卷(十)数列的通项公式与数列的求和

(本试卷满分120分，测试时间90分钟)

一、单选题(本题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2024·云南临沧期中)数列eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)，eq\f(3,5)，－eq\f(2,3)，…的通项公式可能是(D)

A．an＝(－1)neq\f(1,4－n) B．an＝(－1)n－1eq\f(1,4－n)

C．an＝(－1)neq\f(n,n＋2) D．an＝(－1)n－1eq\f(n,n＋2)

[解析]先将原数列变形，再分别视察分子、分母的规律即可求解．将数列eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)，eq\f(3,5)，－eq\f(2,3)，…变为eq\f(1,3)，－eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，－eq\f(4,6)，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调整，可知其通项为an＝(－1)n－1eq\f(n,n＋2).故选：D.

2．(2024·北京北理工附中阶段练习)记Sn为数列{an}的前n项和．若an＝n(8－n)(n＝1,2，…)，则(A)

A．{an}有最大项，{Sn}有最大项

B．{an}有最大项，{Sn}有最小项

C．{an}有最小项，{Sn}有最大项

D．{an}有最小项，{Sn}有最小项

[解析]依据题意，结合二次函数的性质分析{an}的最大项，再分析{an}的符号，据此分析可得{Sn}的最大项，即可得答案．依据题意，数列{an}，an＝n(8－n)＝8n－n2，对于二次函数，y＝－x2＋8x，其开口向下，对称轴为x＝4，即当x＝4时，y＝－x2＋8x取得最大值，对于{an}，n＝4时，an最大；且当1≤n8时，an0，当n＝8时，an＝0，当n8时，an0，故当n＝7或8时，Sn最大，故{an}有最大项，{Sn}有最大项；故选：A.

3．(2024·全国高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1,3,6,10，…构成的数列{an}的第n项，则a50的值为(B)

A．1225 B．1275

C．1326 D．1362

[解析]视察前4项可得an＝eq\f(n?n＋1?,2)，从而可求得结果．由题意可得a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，……，视察规律可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n?n＋1?,2)，所以a50＝eq\f(50×51,2)＝1275，故选：B.

4．(2024·辽宁期中)数列{an}满意an＋1＝1－eq\f(1,an)(n∈N*)，且a1＝2，则a2022的值为(D)

A．2 B．1

C．eq\f(1,2) D．－1

[解析]依据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到a2022＝a3，即可求解．由题意，数列{an}满意an＋1＝1－eq\f(1,an)(n∈N*)，且a1＝2，可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，a5＝eq\f(1,2)，…，可得数列{an}是以2，eq\f(1,2)，－1三项为周期的周期数列，所以a2022＝a673×3＋3＝a3＝－1.故选：D.

5．(2024·重庆市万州其次高级中学开学考试)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1an＝eq\f(Sn,n)＋2(n－1)(n∈N*)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn＋3n)))的前10项的和是(C)

A．290 B．eq\f(9,20)

C．eq\f(5,11) D．eq\f(10,11)

[解析]由an＝eq\f(Sn,n)＋2(n－1)(n∈N*)得{an}为等差数列，求得an＝4n－3(n∈N*)，得eq\f(1,Sn＋3n)＝eq\f(1,2n?n＋1?)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))利用裂项相消求解即可．由an＝eq\f(Sn,n)＋2(n－1)(n∈N*)得Sn＝nan－2n(n－1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，整理得an－an－1＝4，所以{an}是公差为4的等差数列，又a1＝1，所以an＝4n－3(n∈N*)，从而Sn＋3n＝eq\f(n?a1＋an?,2)＋3n＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，所以eq\f(1,Sn＋3n)＝eq\f(1,2n?