人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.2.4 第1课时 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式.pptVIP

第1课时α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式第七章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明.3.培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养.

自主预习新知导学

一、角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系1.角α+k·2π(k∈Z)与角α有什么关系?提示:终边相同.2.角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间有什么关系?提示:它们的同名三角函数值相等.3.(1)sin(α+k·2π)=sinα;cos(α+k·2π)=cosα;tan(α+k·2π)=tanα(k∈Z).?(2)上述公式可归纳为:终边相同的角,同名三角函数值相等.4.求值:(1)sin6π=0;

二、角的旋转对称1.若角α与β的终边关于x轴对称,则α,β之间满足的关系式是什么?提示:β=2kπ-α,k∈Z.2.一般地,角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称.3.(1)30°角和-120°角的终边关于-45°角的终边所在的直线对称;(2)的终边关于π的终边所在的直线对称.

三、角α与-α的三角函数值之间的关系1.α与-α的终边有什么关系?提示:关于x轴对称.2.能否借助于三角函数线研究α与-α的三角函数值之间的关系?提示:能.3.(1)sin(-α)=-sinα;cos(-α)=cosα;tan(-α)=-tanα.?(2)用语言可表述为:-α的三角函数,等于α的同名三角函数,前面加上将α看作锐角时原函数值的符号,即函数名不变,符号看象限.

四、角α与π±α的三角函数值之间的关系1.如何用单位圆中的三角函数线推导sin(π+α),cos(π+α),tan(π+α)与α的三角函数值之间的关系?提示:π+α与α的终边互为反向延长线,sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.2.能否用三角函数线找出π-α与α的三角函数值之间的关系?提示:能.3.(1)sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.?(2)sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=-cosα;tan(π+α)=tanα.?(3)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α诱导公式可简记为:函数名不变,符号看象限.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)诱导公式中角α是任意角.()(2)公式sin(-α)=-sinα,α是锐角才成立.()(3)对于公式tan(π+α)=tanα,当α=时不成立.()(4)tan(-π)=tanπ.()××√√

合作探究释疑解惑

探究一求值问题【例1】求下列各式的值.(1)tan405°-sin450°+cos750°;(2)sin315°sin(-1500°)+cos(-1110°)tan675°;分析:先利用诱导公式化为0°~90°内的角的三角函数再求值.

“-α”公式可起到化负角为正角的作用;“α+k·2π,k∈Z”公式有把大角化为小角的作用;“π±α”公式可把0~2π内角的三角函数化为0~π内角的三角函数.

【变式训练1】求值.

(3)tan(-945°)=-tan945°=-tan(2×360°+225°)=-tan225°=-tan(180°+45°)=-tan45°=-1.

探究二化简三角函数式【例2】化简.分析:应用公式化简时,应尽量将角统一,大角化小角,能求值尽量求值.

三角函数式的化简方法:(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数.

【变式训练2】化简.

探究三证明三角恒等式

1.三角恒等式的证明一般有三种方法:(1)一端化简等于另一端;(2)两端同时化简使之等于同一个式子;(3)作恒等式两端的差式使之为0.2.证明条件恒等式一般有两种方法:一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.

【变式训练3】已知tan(2π-α)=-2,求证:4sin2(4π-α)-3sinα·cos(-α)-5cos2α=1.

思想方法诱导公式中的分类讨论思想分析:分k为奇数、k为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解.

为了便于应用诱导公式化简求值,对于kπ(k∈Z)的情况,一般需把k分成偶数和奇数两种情况