25届（新教材QG版）数学精练案基础课47双曲线.docx

基础课47双曲线

课时评价·提能

基础巩固练

1.已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（B）.

A.32 B.62 C.12

[解析]因为2c=12，所以c=6.因为a=b，所以2a2=c2=36

2.“mn0”是“mx

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析]因为方程mx2+ny2

又当mn0时，方程mx

所以“mn0”是“方程mx2+ny2

3.已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,?

A.x216?y29=1

[解析]依题意得c=5，PF

所以b=c2?a2=4，因为双曲线的焦点在y

4.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则双曲线的离心率为（

A.52 B.5 C.55 D.5

[解析]当双曲线的方程为x2a2?y2b2

当双曲线的方程为y2a2?x2b2

综上所述，双曲线的离心率为52或5.故选D

5.已知双曲线x2?y224=1的两个焦点分别为F1，F2

A.23 B.24 C.25 D.26

[解析]由双曲线的定义可得PF

解得PF2=6

因为F1F2=2c=10，则

因此S△F1P

6.若等轴双曲线C：x2?y

A.1 B.2 C.2 D.1

[解析]由题意可知，双曲线C的方程为x2

∴渐近线的方程为y=±

又2c=4，则c=2，∴a=b=2，

7.已知双曲线M：x24?y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，记F

A.3+1 B.3+12

[解析]如图，由题意可得，PF1⊥

因为点P在第一象限，PF

且PF1?P

在Rt△F1PF2中，由勾股定理可得PF12+PF22=F1F22，即

8.(2024·九省适应性测试)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C的左、右支分别交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4

A.2 B.2 C.5 D.7

[解析]

如图,设双曲线的半焦距长为c,离心率为e,由双曲线的对称性可知|F1A|=|F2B|,|F1B|=|F2A|,则四边形AF1BF2为平行四边形,

令|F1A|=|F2B|=m,则|F1B|=|F2A|=2m,

由双曲线的定义可知|F2A|-|F1A|=2a,故2m-m=2a,即m=2a,

即|F1A|=|F2B|=m=2a,|F1B|=|F2A|=4a,

F2A·F2B=|F2A|·|F2B|cos∠AF2B=4a·2acos

则cos∠AF2B=12,即∠AF2B=π3,故∠F2BF1=

则cos∠F2BF1=|F1B|2

即20a2-4c216a2=-12,即2016-4e

故选D.

综合提升练

9.（多选题）已知双曲线E：x2a2

A.E的实轴长为2 B.E的焦距为4

C.E的离心率为2 D.E的渐近线方程是y

[解析]由题意得222a2?224=1，解得a=2，即双曲线E的方程为x24?y24=1,所以双曲线E的实轴长为4，焦距为42

10.（多选题）已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=

A.a12?

C.14e12+

[解析]由题意可得a12?b12

不妨设P是第一象限的点，PF1=

由椭圆和双曲线的定义可得m+n=

解得m=a1

因为∠F

在△F1PF2

化简为a12+3a22=4

由a12+3a22=4c2，可得a1

由e12+e22=141e12+3e22e12+e22

11.[2024·湖北模拟]（双空题）已知Px0,y0是双曲线E：x24?y2=1上一点，F1，F

[解析]在双曲线E中，a=2，b=1

根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，如图，则PF

因为F1F2=2c=25

所以PF1=

在△PF1F2

则sin∠F

所以S△

12.已知F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1a0

[解析]设双曲线C的焦距为2c，离心率为e.

当PF1?PF2=0

∵e=5

根据双曲线C上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当PF1?PF20时，

应用情境练

13.如图，某水杯的主体部分可以近似看作是离心率为5的双曲线C：x2?y2b2=1b0的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若P为双曲线C

[解析]由题意可知a=1,e=ca=

所以b=

故双曲线C的方程为x2?y2

设双曲线C的右焦点为F2,则焦点F25,0到渐近线

所以PF2与点P到双曲线C

又PF=2a+PF2，所以PF与点P

14.已知双曲线x2a2?y2b2=1a1,b0的焦距为2c，直线l过点a,0

[解析]设直线l的方程为xa+yb

由点到直线的距离公式，且a1