25届（新教材QG版）数学精练案基础课25正弦定理与余弦定理.docx

基础课25正弦定理与余弦定理

课时评价·提能

基础巩固练

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAa=cos

A.30° B.45° C.60°

[解析]由题意知，sinA

∴sinB=cosB，∴B

2.在△ABC中，若A=30°，AB=2，且△ABC

A.233 B.433

[解析]由题意知，S△ABC=1

由余弦定理得BC2=4

设△ABC外接圆的半径为R

由正弦定理得2R=BCsinA=4，

3.（改编）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，3sin2C

A.2 B.3 C.4 D.6

[解析]由余弦定理得a2=b2+c2?2bc×12=b2

又b=6，∴c2+2c?24=

4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，a2

A.12 B.32 C.2

[解析]由b2=ac，a2

∴cosA=b2

由b2=ac，得sin

∴cbsinB

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB=ac

A.直角三角形 B.等腰非等边三角形

C.等边三角形 D.钝角三角形

[解析]∵sinAsinB=

又b+

∴b2+

∵A∈0,π，∴A=π

6.（改编）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acosC+33sin

A.3π4 B.π4或3π4

[解析]∵b=acosC+33sinC，∴由正弦定理可得sinB=sinAcosC+

∵a=2，c=263，∴由正弦定理可得sinC=c?sinA

7.（改编）设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足a=3,b=m,B=π

A.(32，3) B.0,3 C.(12

[解析]由正弦定理asinA=bsinB，

因为△ABC不唯一，即△ABC有两解，所以π6A5

所以12sinA2，所以12

8.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示如下：S△ABC=14[a2c2?a2+c2?b222]，其中a,

A.932 B.934 C.

[解析]∵ac=cos

∴sinA

即sinC

即3sinCcosC=sinBcos

∴sinB=3

∵3ac

则3a2+b2?

∴S

=1

=1

∴当c=3时，Smax=

综合提升练

9.（多选题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足sinB1

A.a=2b B.b=2a C.

[解析]因为sinB

所以2sin

所以sinAcosC?

所以cosC=0或sinA=2sinB.因为0°

10.（多选题）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ABC

A.若acosA=

B.若a+b

C.若a=7，b=4

D.若a=5，A=

[解析]对于A,若acosA=bcosB=ccosC，则sinAcosA=sinBcos

对于B,由a+b+c

则cosC=a2+b2?c22ab=

对于C,因为a=7，b=43，c=13，所以cba，所以CBA

对于D，因为a=5,A=60°,b=4，asinA=bsinB，所以532=4sinB，

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2b2?3c

[解析]∵sinA+B

∴由正弦定理得c=

∵2b2?3

则cosC

12.（双空题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=3

①bcosA的值为

[解析]由sinB=sin2A，

由正弦定理得b=2acosA

②若ac，则b的取值范围是3

[解析]由余弦定理，a2

结合①得cosA

所以32

所以27=

即b2

因为ac，所以0

所以9b2

应用情境练

13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21平方千米.

[解析]设在△ABC中，a=13里，b=14

所以cosC=132+142?1522×

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

①a2?c2

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

[解析]选①