人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积.pptVIP

第2课时空间向量的数量积第一章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解两个向量的夹角的概念.2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质.3.重点提升数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

自主预习新知导学

一、空间向量的夹角1.空间中任意两个向量是否一定共面?提示:一定共面.2.平面上两向量夹角的定义对于空间向量适用吗?提示:适用.

3.空间向量的夹角

4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

二、空间向量的数量积1.向量a在向量b上的投影是向量还是实数?提示:向量.2.平面向量的数量积的概念与性质,能否将它们从平面推广到空间中?提示:能.

3.(1)定义:空间中,两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cosa,b.(2)空间向量的数量积的性质①a⊥b?a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a||b|;④(λa)·b=λ(a·b);⑤a·b=b·a(交换律);⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

答案:0

【思考辨析】判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个向量的夹角的范围是[0,π).()(2)对于非零向量a,b,必有a,b=-a,-b.()(3)|a·b|=|a|·|b|.()(4)(a·b)·c=a·(b·c).()(5)若a·b=b·c,则a=c.()(6)(a+b)2=a2+2a·b+b2.()×√×××√

合作探究释疑解惑

探究一空间向量的数量积运算【例1】已知长方体ABCD-ABCD,AB=AA=2,AD=4,E为侧面AB的中心,F为AD的中点,求下列向量的数量积:

求两个向量m,n的数量积,一般有两种方法:一是结合图形确定向量m,n的模及m,n的大小,直接利用空间向量的数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是将向量m,n用已知向量表示出来,从而把m,n的数量积通过运算转化为已知向量之间的数量积来求.

【变式训练1】如图,已知正四面体OABC的棱长均为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:

探究二求空间向量的夹角

解:如图,连接BD.

在本例中,求异面直线AB与AC所成的角.

求两向量的夹角需应用公式cosa,b=,由cosa,b的值确定a,b大小时,要特别注意a,b的范围是[0,π].

【变式训练2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC=,则异面直线A1C与B1C1所成的角为.?

解析:由题意得BC∥B1C1,则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.连接BA1(图略),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AA1⊥AB,AA1⊥AC,因为AB=AC=AA1=1,

探究三求向量的模【例3】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是60°,求对角线AC1和BD1的长.分析:将线段长度转化为向量的模,进而转化为已知向量的模,应用数量积求解.

求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将此线段用向量表示,再用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=a·a,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.

【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,求EF的长.

易错辨析因忽视角的范围致误【典例】在三棱锥O-ABC中,各棱长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中混淆了异面直线所成角和两向量的夹角的取值范围,两异面直线所成角的范围是

弄清两向量的夹角与异面直线所成角的区别和联系.

【变式训练】如图,在四面体O-ABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求夹角的余弦值.

随堂练习

1.(多选题)下列命题中是真命题的为()A.零向量与任何向量的数量积仍然是零向量B.若a·b0,则a,b为钝角

解析:零向量与任何向量的数量积为零,而不是零向量,故该命题是假命题;若a·b0,则a,b为钝角或平角,故该命题是假命题;答案:CD

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是()答案:A3.已知|p|=|q|=1,且p,q=90°,a=3p-2q,b=p+q,则a·b=.?答案:14.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单