备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业六十二　圆锥曲线中的最值、范围问题.pdf

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六十二圆锥曲线中的最值、范围问题

(时间:45分钟分值:40分)

2

1.(10分)(2024·海口模拟)已知抛物线T:y=2px(p0),点F为其焦点,直线l:x=4与

抛物线交于M,N两点,O为坐标原点,S△OMN=86.

(1)求抛物线T的方程;

【解析(1)直线方程为x=4,将其代入抛物线可得y=±22,

1

262

由已知得S△OMN=×4×4=8,解得p=3,故抛物线T的方程为y=6x.

2

(2)过x轴上一动点E(a,0)(a0)作互相垂直的两条直线,与抛物线T分别相交于

点A,B和C,D,点H,K分别为AB,CD的中点,求|HK|的最小值.

【解析(2)因为E(a,0),若直线AB,CD分别与两坐标轴垂直,

则直线AB,CD中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,所以直线AB,CD的斜

率均存在且不为0.设直线AB的斜率为k(k≠0),

则直线AB的方程为y=k(x-a).

2

=622

联立{=,得ky-6y-6ka=0,则Δ=36+24ka0,

(-)

设A(x,y),B(x,y),

1122

61+233

则y+y=,设H(x,y),则y==,则x=+a=+a,

12HHH2H2

33

2

所以H(2+a,),同理可得K(3k+a,-3k),

2323249294121

故|HK|=(3-2)+(-3-)=9+4+9+2≥32·4+2·2=6,

11

42

当且仅当k=4且k=2,即k=±1时等号成立,

故|HK|的最小值为6.

22

2

2.(1