2025版一轮高考总复习数学第一章　集合、常用逻辑用语与不等式第四节　基本不等式.docxVIP

第四节基本不等式

1.掌握基本不等式ab≤a＋b2（a，b≥

2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

1.基本不等式ab≤a

（1）基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0；

（2）等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号；

（3）其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的

提醒应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

2.基本不等式与最值

已知x＞0，y＞0，则

（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p（简记：积定和最小）；

（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24（简记：和定积最大

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.（

（2）函数y＝x＋1x的最小值是2.（×

（3）x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.（×

2.设a＞0，则9a＋1a的最小值为（

A.4 B.5

C.6 D.7

解析：C因为a＞0，所以9a＋1a≥29a×1a＝6，当且仅当9a＝1a，即a＝13时等号成立，所以9

3.下列不等式一定成立的是（）

A.x2＋14＞

B.sinx＋1sinx≥2（x≠kπ，k∈

C.x2＋1≥2｜x｜（x∈R）

D.1x2+1＞1（x

解析：C选项A中，x2＋14≥x，当x＝12时，x2＋14＝x，故选项A不正确；选项B中，sinx＋1sinx≥2（sinx∈（0，1]），sinx＋1sinx≤－2（sinx∈[－1，0）），故选项B不正确；选项C中，x2－2｜x｜＋1＝（｜x｜－1）2≥0（x∈R），故选项C正确；选项D中，1x2+1∈（0，

4.函数y＝x（3－x）的最大值为94

解析：y＝x（3－x）≤（x+3－x2）2＝94，当且仅当x＝3－x，即

5.函数y＝x＋1x+1（x≥0）的最小值为1

解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，1x+1＞0，利用基本不等式得y＝x＋1x+1＝x＋1＋1x+1－1≥2（x+1）·1x+1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x+1，即x＝0时，

1.ba＋ab≥2（a，b同号

2.ab≤（a＋b2）2（a，b∈

3.a2＋b22≥（a＋b2）2

4.a2＋b22≥a＋b2≥ab＞0（a

1.函数f（x）＝x2＋x+1x（x＞0

A.2 B.3

C.4 D.5

解析：B由结论1知x2＋x+1x＝x＋1x＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故f（

2.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（）

A.9 B.18

C.36 D.81

解析：A因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以由结论4知xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故

利用基本不等式求最值

技法1配凑法

【例1】（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为24；

（2）函数f（x）＝x+3x+1的最小值为2

解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（x+4－x2）2＝24，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，y＝3x（8－2

（2）函数f（x）＝x+3x+1的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝（x+1）+2x+1＝x+1＋2x+1≥2x+1·2x+1＝22，当且仅当x+1＝2x

解题技法

配凑法求最值的实质及关键点

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.

技法2常数代换法

【例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为4

（2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为9.

解析：（1）因为a＋b＝1，所以1a＋1b＝（1a＋1b）·（a＋b）＝2＋（ba＋ab）≥2＋2ba·ab＝2＋2＝4.

（2）因为4a＋b＝ab，所以1a＋4b＝1，所以a＋b＝（a＋b）（1a＋4b）＝5＋ba＋4ab.因为a＞0，b＞0，所以ba＋4ab≥2ba·4ab＝4（当且仅当ba＝4ab，即b

解题技法

常数代换法求最值的基本步骤

（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

（2）把确定的定值（常数）变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

（4）利用基本不等式求最值.

技法3消元法

【例3】（必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为6.

解析：法一∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝b+3b－1且b－1＞0，∴a＋b＝