常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答-(1).doc

1.4习题答案

1.(1)12150,(2)2.52.

2(1),(2),(3).

3.(1),(2),(3).

4.解:因为当时,将保持不变;当时,将增加;当时,将减少.由知,

(1)当,即时,将保持不变.

(2)当,即或时,将增加.

(3)当,即或时,将减少.

5.7071.

6.解:(1)设为在时刻的放射性同位素质量.则模型为,为比例系数,方程的解为,由时,,得,于是

,又因为时,,得,

,因此.

(2)当时,

(3)质量减半时,得,.

7.(1),(2),(3)一样.

8.(1)1065,(2)17669,(3)32600,(4)168

9.解:(1).

(2).

(3),其中是捕获量与总量平方根的比例系数.

10.(1)趋向于2000,(2)鱼的数量递减趋于0.

11..

12..

13.(1)为任意常数.

(2)为任意常数.

(3)为任意常数.

(4)为任意常数.

(5)为任意常数,此外也是解.

(6)为任意常数.

(7)为任意常数,此外也是解.

(8)为任意常数.

(9)为任意常数,此外也是解.

(10)为任意常数.

14.(1).

(2).

(3).

(4).

15.解:设,则可导且,这样有,

得,又,得.从而,

进而.

16.解:首先令,由已知可得,

化简有,知.由函数的导数定义

(2)初始条件为,而平衡解满足这一初始条件,由唯一性,满足这个初始条件的解就是平衡解.

(3)初始条件为,初值位于这两个平衡解的中间,由唯一性,满足这个初始条件的解一定满足,且由,知这个解递增,并且随着的递增,也递增但随着趋向于,趋向于0,增长越来越缓慢,知,.同样,,.

(4)初始条件为,初值位于的下方,由唯一性,满足这个初始条件的解一定小于,且,与前面类似讨论知,在增加时,在有限时间内爆破,趋向于.当时,.

34.证明:由于连续可微,知方程满足存在唯一性定理的条件.因为是方程的一个解,必可微,又因为在处取得极值,则由极值的必要条件知,从而,知是方程的一个平衡解,并且这个解满足初始条件,而这个解满足同样的初始条件,由解的唯一性,知.

35.,其中为任意常数,这些解的定义区间为.

36解:由,知它在全平面内连续,又由于,在除去的区域内连续,从而在除去的有界闭区域内有界,进而满足利普希茨条件,知方程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.

当时,函数是方程过(0,0)的解.

当时,方程可变形为,积分得,为任意常数.当时,得特解是过(0,0)的另一个解,其实,除零解外,过(0,0)的所有解可以表示为,,,其中是满足,的任意常数,这些解的定义区间为,但本质上在充分小的邻域内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,

即函数,及.

37.解:(1)由得平衡点为和.因为,所以是汇;而,所以是源.

(2)由得平衡点为和.当时,,知为汇;而,知为源.相反,当时,,知为源;而,知为汇.同样和都为汇.

(3)总是大于0,知方程无平衡点.

(4)由得平衡点,且当时,,知,都为结点.

38.(1)图1-24,(2)图1-25,(3)图1-26,(4)图1-27.

图1-24图1-25

图1-26图1-27

39.(1)减少时,在有限时间内趋于.

(2).

(3)同(1).

(4)增加时,在有限时间内趋于.

40.

图1-11

解:(a)对应于(7),(b)对应于(2),(c)对应于(6),(d)对应于(3).

例21.

41.如图1-28