25届（新教材QG版）数学新考案培优课20概率、统计与其他知识的交汇问题(37).pdf

5也可联系优课20概率、统计与其他知识的交汇

问题

培优点一概率、统计与数列的综合问题（马尔科夫链问

题）

审题指导

典例1[2024·杭州模拟]马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定

义：假设我们的序列状态是，，，，，，那么时刻

⋯⋯

−2−1+1+1

的状态的条件概率仅依赖前一状态，即()()

+1|⋯,−2,−1,=+1|

（审题①联想到数列相邻两项的关系即递推数列）.现实生活中也存在着许多

尔科夫链.假如一名学生参与一个知识答题竞赛，每一题答对的概率为50%，且

每答对一题可以获得1个积分，每一题答错的概率为50%，且答错一题就要扣

掉1个积分.该学生只有遇到如下两种情况才会结束答题：一种是累计积分为

0；一种是达到预期的个积分.记该学生的初始积分为∗，答题

(∈,)

过程如数轴所示.

（审题②图中的0.5表示答对或答错的概率）

当该学生的积分为(0≤≤,∈)时，最终累计积分为0的概率为()，请

回答下列问题：

（1）请直接写出（审题③明确和的含义,即可写出与

(0)与()=0=(0)

()）的数值.

（2）证明{()}是一个等差数列（审题④联想等差数列的定义,进而联想到全概

率公式），并写出公差.

（3）当时，分别计算当，时，（审题⑤

=100=200=1000()的数值

由第（2）题的公式求得）.

解题观摩

[解析]（1）当时，该学生累计积分为0，()…………；审题③

=0因此0=1

当时，该学生停止答题，因此累计积分为0的概率()………….审

==0

题③

（2）记事件“该学生初始积分为,且最后累计积分为0”，事件“该

：：

学生的初始积分为,且上一题答对”，